И вращательного движения

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА № _

Студента 2-ого курса, __ группы

Агрономического факультета

направления 120700.62 –

Землеустройство и кадастры

Иванова Ивана Ивановича

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

На диск массой М и радиусом R намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m. Груз падает с высоты h, раскручивая диск. Нить считать невесомой и нерастяжимой. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ось вращения диска неподвижна. Момент инерции диска . Исходные данные приведены в табл. 1.1. Здесь υ и а – абсолютные величины скорости и ускорения груза в момент падения t. ε – абсолютная величина углового ускорения диска в момент падения груза. F _нат – абсолютная величина силы натяжения нити. Предполагается, что груз начал падать в момент времени t ₁ = 0. Прочерк означает, что соответствующую величину не следует определять.

Рассмотрим 26-й вариант.

На диск массой 4 кг намотана нить и подвешен груз массой 1 кг. Груз падает с высоты 1 м, раскручивая нить. Нить невесома и нерастяжима (следовательно, F _нат – const). Сопротивлением воздуха и трением пренебречь. Ось вращения диска неподвижна. Момент инерции диска . Определить модули скорости и ускорения груза в момент падения, модуль натяжения нити и время падения груза.

Решение

На груз m действуют: со стороны Земли – сила тяжести и со стороны нити – сила натяжения . На диск действует момент силы натяжения. На рис. 1.1 точки приложения сил выведены вправо от груза. Напишем уравнения движения для каждого тела в отдельности. Второй закон Ньютона, примененный к грузу, дает уравнение

+ = . (1.1)

Силы, действующие на груз, не зависят от времени. Поэтому ускорение груза постоянно. Равноускоренное движение груза описывается соотношениями

; υ = аt. (1.2)

Основное уравнение динамики вращения для диска имеет вид:

, (1.3)

где – определяет момент силы , численно равный в данном случае произведению R F _нат (M ₁ = R F _нат). Угловые и линейные характеристики в данном случае связаны между собой соотношениями

υ = ω R; а = ε R. (1.4)

Для перехода к скалярной записи в уравнениях (1.1) и (1.3) спроектируем их на оси у и z соответственно. Получим

mg – F _нат = ma; (1.1а)

J ε = R F _нат. (1.3а)

Уравнения (1.1)–(1.4) описывают движение системы. Решение этих уравнений дает

υ м/с; с;

м/с²; F _нат Н.

Проверим правильность размерности полученных результатов по рассчитанным формулам:

υ: ; ;

а: ; F _нат: .

Примечание: при решении задачи можно также использовать закон сохранения энергии. Система двух тел (диск и груз) в поле силы тяжести может рассматриваться в данном случае как замкнутая. Полная механическая энергия такой системы сохраняется. Следовательно:

.

Таблица 1.1