2015-06-30
1136
Однородный тонкий стержень длиной l и массой М может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку 0 (рис. 3.1). Расстояние от верхнего конца стержня до точки 0 равно r 1. Пуля массой m, летящая в горизонтальном направлении со скоростью υ 0, попадает в точку А стержня и застревает в нем. Расстояние от верхнего конца стержня до точки А равно r 2. Линейная скорость нижнего конца стержня непосредственно после удара равна υ, а угловая скорость его равна ω. Угол отклонения стержня после удара равен φ. Момент инерции стержня относительно оси вращения равен J.
Данные для всех вариантов приведены в табл. 3.1
Таблица 3.1
| № вар. | m, кг | М, кг | l, м | υ 0, м/с | ω, рад/с | J, кг·м2 | φ, град | υ, м/с | r 1, м | r 2, м |
| 2·10-2 | ? | ? | ? | ? | l /2 | |||||
| 3·10-2 | 1,4 | ? | ? | ? | ? | 0,5 | l /3 | |||
| 4·10-2 | 1,5 | ? | 0,4 | ? | ? | ? | l /4 | |||
| 2·10-2 | ? | ? | 0,6 | ? | ? | 0,6 | l /2 | |||
| 4·10-2 | ? | 1,8 | ? | ? | ? | l /3 | ||||
| 10-2 | ? | ? | 0,5 | ? | ? | l /4 | ||||
| 5·10-2 | ? | ? | ? | 0,7 | ? | l /2 | ||||
| ? | ? | 0,4 | ? | ? | l /2 | |||||
| ? | 1,5 | 0,5 | ? | ? | ? | l /3 | ||||
| 3·10-2 | ? | ? | ? | ? | l /4 | |||||
| 4·10-2 | ? | ? | ? | ? | l /2 | |||||
| 10-2 | 0,2 | ? | ? | - | ? | l /2 | ||||
| 2·10-2 | 0,3 | 1,2 | ? | ? | - | ? | l /3 | |||
| 3·10-2 | 0,2 | 1,1 | ? | ? | - | ? | l /4 | |||
| 4·10-2 | 0,5 | 1,5 | ? | 0,5 | ? | - | ? | l /2 | ||
| 10-2 | 0,4 | ? | ? | 0,6 | ? | - | 1,3 | l /2 | ||
| 3·10-2 | 0,3 | 1,4 | ? | ? | ? | - | 1,2 | l /2 | ||
| 3·10-2 | 0,4 | ? | ? | 7·10-2 | - | ? | l /2 | |||
| 4·10-2 | ? | 1,2 | ? | 6·10-2 | - | ? | l /2 | |||
| ? | 0,5 | 0,4 | ? | - | ? | l /2 |
| № вар. | m, кг | М, кг | l, м | υ 0, м/с | ω, рад/с | J, кг·м2 | φ, град | υ, м/с | r 1, м | r 2, м |
| 6·10-2 | 0,5 | 1,2 | ? | ? | ? | - | 1,4 | l /3 | ||
| 3·10-2 | 0,4 | ? | ? | 0,5 | ? | - | 1,4 | l /4 | ||
| 5·10-2 | 0,3 | ? | ? | 4·10-2 | - | ? | l /3 | |||
| 4·10-2 | ? | 1,4 | ? | 5·10-2 | - | ? | l /4 | |||
| ? | 0,6 | 1,2 | 0,3 | ? | - | ? | l /3 | |||
| 10-2 | 1,5 | ? | ? | ? | ? | l /2 |
Рассмотрим в качестве примера 26-й вариант.
Однородный тонкий стержень длиной 1,5 м и массой 10 кг может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В середину стержня ударяет пуля массой 10-2 кг, летящая в горизонтальном направлении со скоростью 500 м/с, и застревает в стержне. Определить угловую и линейную скорости нижнего конца стержня непосредственно после удара, момент инерции стержня относительно оси вращения, угол отклонения стержня после удара.
Решение
Столкновение пули со стержнем можно рассматривать как абсолютно неупругий удар. В момент удара на пулю и стержень извне действуют только силы тяжести. Моменты этих сил относительно оси вращения равны нулю. Поэтому момент импульса системы пуля-стержень сохраняется и
. (3.1)
Здесь r – расстояние от точки попадания пули до оси вращения стержня. Момент инерции J стержня относительно горизонтальной оси, проходящей через точку 0, может быть определен по теореме Штейнера. В данном случае он равен
. (3.2)
В результате удара стержень с застрявшей в нем пулей отклоняется на угол φ. Движение происходит в поле консервативной силы – силы тяжести. Поэтому механическая энергия системы пуля-стержень при этом сохраняется. Учитывая, что m << M, можно записать
. (3.3)
Справа в выражении (3.3) стоит изменение потенциальной энергии стержня. (Высота подъема центра масс стержня 
. Уравнения (3.1)–(3.3) описывают движение рассматриваемой системы тел. Решение этих уравнений дает
рад/с;
; 
;
J = 7,5 кг·м2; υ = 0,4 м/с.
Проверка размерностей полученных результатов достаточно проста, и для краткости здесь ее опускаем.
