Метод моментов аппроксимации экспериментальных распределений статистическими законами

МЕТОДЫ МОМЕНТОВ

На практике для аппроксимации экспериментальных распределений случайных чисел, характеризующих функционирование элементов моделируемой системы, наиболее часто применяется метод моментов. Суть метода моментов заключается в приравнивании оценок моментов, вычисленных по экспериментальным данным, соответствующим им моментам, вычисленным по функции плотности или моментной производящей функции. Для применения метода моментов требуется выполнить следующие действия:

1. На основании физической сущности анализируемого случайного процесса высказывается гипотеза о его подчинении какому-то стандартному статистическому закону. Для выбранного гипотетического закона записывается функция плотности или моментная производящая функция и определяется количество параметров гипотетического закона .

2. По экспериментальным данным вычисляются оценки начальных моментов.

Если все случайные значения равновероятны, то используются следующие формулы для вычисления оценок начальных моментов: где

– порядок момента

количество реализаций случайной величины.

Оценка математического ожидания (первого начального момента) вычисляется по формуле:

Оценка второго начального момента вычисляется по формуле:

Оценки центральных моментов вычисляются по формуле:

Оценка второго центрального момента (дисперсии) определяется по формуле:

Оценка среднего квадратического отклонения (стандартного отклонения) определяется по формуле: На практике обычно оценку стандартного отклонения вычисляют по оценкам второго и первого начального моментов:

При количестве случайных чисел в выборке, стремящемуся к бесконечности (т.е. к генеральной совокупности), оценки начальных моментов стремятся к соответствующим им моментам .

3. Записываем формулы для вычисления моментов по функции плотности или моментной производящей функции и составляем систему уравнений, решение которой определит значения параметров гипотетического закона.

Таким образом, система должна состоять из уравнений, но в любом случае, если даже , рекомендуется определять не менее двух первых моментов и их оценок.

4. Оцениванием качество аппроксимации по критериям согласия, среди которых наибольшее применение получили критерии согласия Пирсона () и Колмогорова – Смирнова.

4.1. Для использования строится гистограмма распределения случайной величины на основе группировки случайных чисел (гистограмма изображена на рисунке 6).

По вычисленным значениям и по статистическим таблицам определяется коэффициент доверия гипотезе , который должен укладываться в 10%-й доверительный интервал, т.е. должно выполняться неравенство . Если это условие выполняется, то делается заключение, что имеющиеся статистические данные не противоречат гипотезе об их подчинении высказанному гипотетическому закону по критерию согласия Пирсона. Если данное неравенство не выполняется, то гипотезу рекомендуется отвергнуть и провести аппроксимацию другим законом, как правило, более сложным.

Для корректного применения критерия Пирсона рекомендуется строить гистограммы с количеством интервалов не менее 7 и чтобы количество попаданий случайной величины в любой интервал гистограммы было не меньше 7. Таким образом, для использования критерия Пирсона требуется наличие не менее 49 случайных чисел.

4.2. При сравнительно небольшом количестве случайных чисел рекомендуется применять критерий согласия Колмогорова, который вычисляется по формуле:

где

– количество реализаций случайной величины;

, – эмпирическая и гипотетическая функции распределения.

Эмпирическая функция распределения строится по имеющейся последовательности случайных чисел. Каждая имеющаяся случайная величина увеличивает функцию распределения на величину . Таким образом, функция распределения представляется графиком, изменяющимся от 0 до 1. Значения гипотетической функции распределения вычисляются по формуле: где – левая граница диапазона существования закона.

По вычисленному значению по статистическим таблицам находится коэффициент доверия гипотезе , который должен удовлетворять условию: Если данное условие выполняется, то делается заключение, что имеющиеся статистические данные не противоречат гипотезе об их подчинении высказанному гипотетическому закону по критерию Колмогорова. В противном случае гипотезу рекомендуется отвергнуть.