2014-02-24
35324
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла
, (4.14)
в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).
Рис. 4.4
Для момента инерции можно написать IA = kml 2, где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m (l /2)2. Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l /2, масса m /2, а следовательно, момент инерции равен 
Таким образом, IC = km (l/ 2)2. Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим
,
откуда k = 1/3. В результате находим
(4.15)
(4.16)
Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен
IZ = mR 2, (4.17)
где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.
Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.
Рис. 4.5 Рис. 4.6
Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2 p rdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом 
Ввиду однородности диска dm = 
, где S = p R 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим
(4.18)
Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.
Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = Σ mR2. В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R2dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.
Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у2 + z2, z2 + x2, x2 + у2, а моменты инерции относительно тех же осей
IX = m (y 2 + z 2), IУ = m (z 2 + x 2),
IZ = m (x 2 + y 2).
Сложим эти три равенства, получим IX + IУ + IZ = 2 m (x 2 + у 2 + z 2).
Рис. 4.7
Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2, где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому
IX + IУ + IZ = 2θ. (4.19)
Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.
Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2. Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра
. (4.20)
