Приближённые методы решения

При использовании приближённых методов предполагается, что система (3.1₁) представлена в виде

x=Bx+d, (3.3)

который называется нормальной формой системы уравнений.

Процесс вычислений в этом случае организуют следующим образом. По тем или иным соображениям выбирается начальное приближение к решению системы. Оно подставляется в правую часть (3.3), полученное значение обозначается через , принимается в качестве следующего приближения и подставляется в правую часть для получения и т.д. Таким образом, вычислительный процесс описывается формулой

(3.4)

и называется итерационным. Процедура получения очередного приближения называется итерацией. После выполнения ряда таких итераций одно из приближений и принимается в качестве приближённого решения. Оценка полученной при этом погрешности и вопросы сходимости последовательности рассмотрим ниже. Описанная процедура приближённого решения системы уравнений называется методом простой итерации.

Модификацией этого метода является метод Зейделя. Его отличие состоит в том, что при получении компонент (к+ 1)-го приближения используются полученные на этой же итерации «улучшенные» значения предыдущих компонент. Математически этот процесс описывается следующим способом

. (3.5)

С целью ускорения сходимости в качестве очередной улучшаемой компоненты рекомендуется выбирать ту, которой соответствует наибольшее значение модуля невязки, т.е. значения . Это реализуется так. После получения к -го приближения формируется вектор

компоненты которого упорядочиваются по убыванию их модулей. Установленный в результате этого порядок переносится и на последовательность вычисления компонент (к+ 1)-го приближения по правилам (3.5).

Можно показать, что стационарный метод Зейделя (3.5), т.е. когда порядок вычисления компонент неизменен, сводится к методу простой итерации. Действительно, обозначим через B₁, B₂ следующие матрицы