Предварительные замечания

Обычно процесс решения уравнения

, (4.1)

где - некоторая непрерывная функция, распадается на два этапа.

Первый из них заключается в установлении промежутка [ a, b ], на котором находится, по крайней мере, один корень уравнения (4.1). Этот этап называется отделением корней и может осуществляться различными способами. Один из них базируется на фундаментальном свойстве непрерывных функций, описанном теоремой Больцано-Коши:

Пусть функция непрерывна на отрезке [ a, b ] и на его концах принимает значения разных знаков. Тогда существует внутренняя точка , в которой .

Геометрически это означает, что при выполнении указанных условий график функции на отрезке [ a, b ], хотя бы один раз, пересечёт ось ox (Рисунок 4.1).

Рисунок 4.1. Иллюстрация к теореме Больцано-Коши

Отсюда следует, что для отделения корней уравнения (4.1) на первоначально заданном отрезке [ А; В ] необходимо с некоторым шагом h провести вычисление функции в точках и выделить тот или те отрезки , для которых . Если с выбранным значением h такой промежуток выбрать не удалось, то необходимо повторить вычисления, уменьшая до разумных пределов значение h.

Другой способ отделения корней, - графический. При современном уровне развития вычислительной техники он, по-видимому, является и более предпочтительным. Заключается в построении графика функции на промежутке [ A; B ] и в установлении, исходя из графика, отрезка [ a, b ], на котором он пересекает ось ох.

Замечание. На теореме Больцано-Коши основан один из методов решения нелинейных уравнений, - метод половинного деления. Он состоит в следующем. Пусть установлен отрезок [ a, b ], на котором . Далее, рассматривается середина этого отрезка точка , определяется и из отрезков [ a; c ], [ c; b ] выбирается тот, на котором функция меняет знак.

На выбранном отрезке, обозначим его через [ a₁, b₁ ], величина которого равна , снова рассматривается середина отрезка , определяется и из отрезков [ a₁; c₁ ], [ c₁; b₁ ] выбирается тот, на котором изменяет знак. Он обозначается через [ a₂, b₂ ] и процедура повторяется. На n - ом шаге величина отрезка [ a_n, b_n ] равна . Если она меньше , где - требуемая точность решения уравнения, то процесс последовательного деления завершается и в качестве приближенного решения выбирается .