Сплайн – интерполяция

Одним из недостатков рассмотренных методов является высокая степень интерполяционного многочлена, что не всегда является желательным. Разбиение же исходного отрезка на частичные и построение на них отдельных интерполяционных многочленов приводит к тому, что в точках стыка многочленов производные разрывны. Этого недостатка лишены интерполирующие функции, построенные на основе сплайнов.

Сплайном на отрезке [a, b]называется функция, непрерывная на отрезке вместе со своими производными до заданного порядка включительно, которая на частичных промежутках этого отрезка описывается различными алгебраическими многочленами.

Рассмотрим методику построения сплайна, основанного на алгебраических многочленах третьей степени, т.е. так называемую, кубическую сплайн – интерполяцию.

Как и ранее, считаем заданной таблицу значений функции в точках a=x₀, x₁, x₂,…, x_n = b. На каждом из отрезков [ x_i_-1_,x _i ] многочлен P_i(x) будем искать в виде

Таким образом, общее число многочленов равно n, а число неизвестных коэффициентов,- 4n. Поэтому для их определения необходимо такое же количество условий.

Потребуем, чтобы каждый многочлен в крайних точках своего отрезка удовлетворял условиям

, , ,

что даёт 2n соотношений. Далее, потребуем, чтобы во внутренних узловых точках первая и вторая производные интерполирующей функции были непрерывными, т.е.

, , .

Это даёт ещё 2(n-1) ограничений. Для получения двух недостающих можно дополнительно потребовать, что в крайних точках отрезка интерполирующая функция имела нулевую кривизну, т.е.,

Таким образом, для определения коэффициентов многочленов имеем систему уравнений.

которая оказывается линейной. В том случае, когда узловые точки являются равноотстоящими, т.е. , она существенно упрощается и принимает вид

В частности, для трёх равноотстоящих узлов, т.е. n=2, имеем

которая легко решается в общем виде. Действительно, из 1-го, 2-го, 5-го и 6-го уравнений следует , , и , а оставшаяся часть после традиционных преобразований приводится к треугольному виду

Варианты индивидуальных заданий

На промежутке [ a, b ] составить таблицу значений функции y=f(x) в (n+1)-ой равностоящих узловых точках. По этой таблице построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. В обоих случаях определить приближённые значения функции в точке по формуле . Оценить погрешность полученных значений, сравнить её с “точной ” погрешностью .