Требования к отчету

Отчет должен содержать следующие обязательные пункты:

- титульный лист установленного образца;

- формулировку задания;

- краткие теоретические сведения о применяемых методах;

- графики функций;

- результаты расчетов: ручного и при помощи программы;

- текст программы;

- выводы.

Варианты к заданию

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Лекция 6. Приближенное вычисление определенных интегралов

В которой формулируются основные идеи, реализованные при приближенном вычислении определенных интегралов, рассмотрены простейшие квадратурные формулы для равноотстоящих узлов, обсуждаются вопросы погрешности. Дано понятие о методах Монте-Карло.

6.1. Вступительные замечания

Ниже рассматриваются методы приближенного интегрирования собственных интегралов Римана

. (1)

Традиционный подход заключается в следующем.

На отрезке [ a, b ] выбирается ряд узловых точек и значение интеграла представляется в виде линейной комбинации значений подинтегральной функции в узловых точках

,

которая называется квадратурной формулой. При заданном числе n расположение узлов и значения коэффициентов подбирается так, чтобы обеспечивалась наивысшая точность результата. Наиболее просты и употребительны методы, в которых узловые точки выбираются равноотстоящими. На их рассмотрении далее мы и остановимся.

6.2. Формулы Ньютона-Котеса

Предположим, что отрезок [ a, b ] разделен на n равных частей величиной и обозначим точки деления через . Представим подинтегральную функцию (1) с помощью многочлена Лагранжа

где t = .

Тогда

(2)

или

,

где

(3)

Соотношения (2), () и называются квадратурными формулами Ньютона-Котеса.

В случае, когда деление отрезка [ a,b ] не производится и на нем выбирается единственная узловая точка, обозначим ее через , интерполяционный многочлен принимает вид , а квадратурная формула, –

. (4)

Рассмотрим другие простейшие случаи, предварительно обосновав важное, для вычисления коэффициентов H_i, свойство:

При фиксированном n значения H_i и H_n-i, где ,равны.

Доказательство. Пусть n=2m. Не умаляя общности можно считать, что . Рассмотрим числитель подинтегральной функции из соотношения (2)

(t)=t(t-1)… (t-i)… (t-m)… (t-(2m-i))… (t-2m).

Удалим из (t) множители (t-i) и (t-(2m-i)) и обозначим произведение оставшихся, – через . Т.е.

(t)=(t-i) (t-(2m-i)) (t).

Тогда

и

Сделаем в последних интегралах замену t-m=z или t=z+m. Тогда

и является нечетной функцией переменной z. Выражения для определения , после очевидных преобразований примут вид

,

.

Вторые слагаемые в фигурных скобках, в силу нечетности (z), равны 0, а числа 2m-i и i имеют одинаковую четность. Поэтому , что и требовалось.

Случай n=2m + 1 рассматривается аналогично.

Вернемся к вычислению коэффициентов .

Рассмотрим n=1. Тогда из (3) следует

.

Отсюда и квадратурная формула (2) принимает вид

(5)

Пусть теперь n=2 Из (3) имеем

,

.

Тогда

= =

и

(6)

Рассмотрим n=3. Согласно (3)

,

следовательно, и ,

,

следовательно, и .

Тогда квадратурная формула (2) принимает вид

(7)