Простейшие квадратурные правила

Стремление повысить точность приближенного вычисления интеграла путем повышения степени интерполяционного многочлена неизбежно приводит к возрастанию технических сложностей при вычислении квадратурных коэффициентов. Поэтому на практике стараются обойтись многочленами невысокой степени, разбивая исходный отрезок интегрирования на меньшие части. В результате этого получают семейства квадратурных правил, зависящих от степени использованных интерполяционных многочленов. Рассмотрим простейшие из них.

Правило прямоугольников. Исходный отрезок [ a,b ] разбивается на n равных частей величиной , на каждом из них выбирают по одной точке . Далее, применяя к каждой из них формулу (4) получаем правило

, (8)

называемое правилом прямоугольников.

Если f(x) 0, то площадь криволинейной трапеции выражаемой , согласно (8), вычисляется как площадь фигуры, состоящей из прямоугольников с основанием h и высотами . В зависимости от выбора точек xi различают формулы левых и правых прямоугольников (Рисунок 1).

а)

б)

Рисунок 1. Правило прямоугольников: а)- левых; б)- правых

Правило трапеций. Разделим отрезок [ a, b ] на n равных частей и обозначим точки деления через =a+ih, , . Применяя, далее, к каждому из отрезков формулу (5), получим квадратурное правило

, (9)

называемое формулой трапеций. Ее геометрический смысл состоит в замене кривой y=f(x) ломаной и замене криволинейной трапеции, соответствующей участку , обычной, – прямолинейной

Рисунок 2. Правило трапеций

Правило парабол. Разделим отрезок [ a, b ] на n =2m частей, обозначим точки деления через и рассмотрим сдвоенные отрезки. К каждому из них применим формулу (6), в результате чего получим правило

, (10)

где , которое называется формулой парабол или Симпсона. Название также отчасти объясняется геометрическими особенностями, состоящими в том, что на каждом сдвоенном отрезке кривая y=f(x) заменяется участком параболы.

Правило трех восьмых. Разделим исходный отрезок на 3m частей, образуем строенные отрезки и к каждому из них применим формулу (7). В результате этого получим правило