Дискретная форма рядов Фурье

Рассмотрим разложение (6), (7). Предположим, что на отрезке функция задана в m равностоящих узловых точках , где ,

Используя для вычисления коэффициентов формулу левых прямоугольников из (7) имеем

или, учитывая ,

(8)

Соотношение (8) называется дискретным преобразованием Фурье.

Таким образом, учитывая окончательно имеем

Из соотношений (8) вытекают следующие свойства.

Свойство 1. Набор коэффициентов является комплексно сопряженным, т.е.

, ,

Действительно, согласно (8), имеем

Свойство 2. Набор коэффициентов , является периодическим с периодом равным m. Т.е. .

Обосновывается аналогичным образом.

Следствие. Для построения разложения (8) при численном моделировании с равноотстоящими узловыми точками достаточно вычисления по коэффициентов .

Так, при m=3, например, - коэффициентов , . Тогда по свойству 1, а По свойству 2, - При m=4, - коэффициентов Тогда , и