Комплексная форма рядов Фурье

В приложениях достаточно популярной является комплексная форма рядов Фурье. Их получение базируется на формулах Эйлера

откуда

, . (5)

Приведем комплексную форму для разложения (3). Из (4) с использованием (5) имеем

или

,

где

.

Аналогичным образом,

,

или

Тогда гармоническая составляющая ряда (3)

и ряд, в целом,

(6)

где

, , , . (7)

Разложение (6), (7) и является искомым.

Обратим внимание, что амплитуда n-ой гармоники в этом случае равна

.