Ответы, решения, указания

10 КЛАСС

1. ах³ + вх² + сх = 0 х (ах² + вх + с) = 0 . Если а = 0, то корень второго уравнения х = - , и сумма корней исходного уравнения равна - . Пусть

а ≠ 0 и второе уравнение совокупности имеет корни х₁ и х₂, причем х₁ + х₂ = - . Тогда по теореме Виета их сумма равна - . Таким образом, - = - .

Тогда D = -3 в ² < 0, корней нет. Противоречие.

Ответ: при а = 0, в ≠ 0 и с R.

2. = . В числителе произведение 3-х последовательных целых чисел, значит одно из них обязательно делится на 2 и одно из них делится на 3, поэтому произведение делится на 6.

3. 1) Точка М лежит на окружности с центром в точке В и радиусом АВ (по теореме о вписанном угле).

2) АС = 60°, так как АВС = 60°.

3) СК = 40°, так как СМВ = 20°.

4) АМ = КМ - СК - АС =

= 180°- 60° - 40° = 80°.

5) АСМ – вписанный и опирается на АМ АСМ = 40°.

Ответ: АСМ = 40°.

4. Предположим, что такая последовательность существует. Тогда она имеет вид:

а₁; а₁ + d = а₁q; а₁ + 2d = а₁q², где а₁ ≠ 0 (что следует из определений арифметической и геометрической прогрессии).

Решим систему откуда q = 1, d = 0, а₁ R . Получаем последовательность трех одинаковых чисел, что противоречит условию.

5. Докажем сначала, что вынув 2009 шариков, мы наверняка вытащим 670 шариков одного цвета. Пусть а – количество вынутых красных, в – зеленых, с – остальных, тогда а + в + с = 2009. Предположим от противного, что при этом нет 670 – ти шариков одного цвета, тогда а ≤ 669 и в ≤ 669, а + в + с ≤ 669 + 669 + 670 = 2008. Противоречие. Очевидно, что при меньшем количестве вынутых шариков всегда возможна ситуация, когда не будет 670-ти шариков одного цвета.

Ответ: 2009.