Свойства генерального корреляционного отношения как измерителя степени корреляционной и стохастической зависимости

1. Θ ≤ ρ_Υ/Χ ≤ 1.

Действительно, согласно (29), ρ_Υ/Χ ≥ 0; с другой стороны, из (28) следует, что σ_φ² ≤ σ_Υ², поэтому ρ_Υ/Χ ≤ 1.

2. Условие ρ_Υ/Χ = 0 является необходимым и достаточным для отсутствия корреляционной зависимости Υ от Χ, т.е. для того, чтобы М(Υ/Χ) = const при любом значении х величины Х.

Достаточность. Пусть ρ_Υ/Χ = 0. Тогда по формуле (29) имеем D[M(Y/X)] = 0. Из этого равенства следует, что М(Υ/Χ) = const, т.е. условное математическое ожидание М(Υ/Χ = х) «не реагирует» на изменение значения х величины Х. Это и означает, что корреляционная зависимость Υ от Χ отсутствует.

Необходимость. Пусть отсутствует корреляционная зависимость величины Υ от Χ; это означает, что М(Υ/Χ = х) = const при любом допустимом значении х, поэтому D[M(Y/X)]=0. Поскольку это так, постольку, согласно (28), ρ_Υ/Χ = 0.

Следствие. Чем ближе ρ_Υ/Χк нулю, тем в соответствии с (29) ближе к нулю D[M(Y/X)], а это, учитывая (25), означает, что уменьшается разброс условных математических ожиданий М(Υ/Χ = х) относительно МΥ. Т.обр., чем ближе ρ_Υ/Χ к нулю, тем меньше «реакция условного математического ожидания М(Υ/Χ = х) на изменение х», или, иначе говоря, «тем меньше степень корреляционной зависимости Υ от Χ».

И, наоборот, чем «меньше степень корреляционной зависимости Υ от Χ», тем ближе ρ_Υ/Χ к нулю.

3. Условие ρ_Υ/Χ = 1 является необходимым и достаточным для функциональной зависимости величины Υ от Χ.

Достаточность. Пусть ρ_Υ/Χ = 1. Это в силу (25) означает, что σ₀² = 0 или M[D(Y/X)]=0. Но т.к. дисперсия другой величины неотрицательна, то из последнего равенства следует, что D[M(Y/X = х)] = 0 при любом х, а это означает, что при Х = х величина Υ остаётся постоянной (принимает единственное значение), т.е. зависимость Υ от Χ – функциональная.

Необходимость. Пусть любому фиксированному значению х величины Χ соответствует только одно значение величины Υ. Это означает, что при любом х дисперсия D[M(Y/X = х)] = 0, поэтому и σ₀² = M[D(Y/X)] = М(0) = 0. Но тогда из (28) следует, что ρ_Υ/Χ = 1.

Следствие. Чем ближе ρ_Υ/Χ к единице, тем в силу (28) ближе к нулю M[D(Y/X)], а следовательно, и условные дисперсии D(Y/X = х). Это означает, что при каждом допустимом значении х уменьшается разброс «игреков» относительно М(Y/X = х). Т.обр., чем ближе ρ_Υ/Χ к единице, тем меньше при каждом х отличие «игреков» от постоянного числа, равного М(Y/X = х), или, иначе говоря, тем выше степень стохастической зависимости Υ от Χ. И, наоборот, чем выше степень стохастической зависимости Υ от Χ, тем ближе ρ_Υ/Χ к единице.

В практических задачах наибольший интерес представляют следующие вопросы:

- существует корреляционная зависимость Υ от Χ или нет, иначе говоря, отлично ли генеральное корреляционное отношение ρ_Υ/Χ от нуля или равно нулю;

- если корреляционная зависимость существует, то какой вид имеет функция регрессии (линейный, параболический или какой-либо другой).

Точно ответить на поставленные вопросы можно лишь только в том случае, когда известен закон распределения двумерной величины (Χ, Υ). В примере 5 этот закон задан табл. 9, в которой даны все возможные значения случайных величин Χ и Υ и вероятности совместного появления этих значений. Обычно такими сведениями не располагают; как правило, имеются лишь наблюдавшиеся значения двумерной величины (Χ, Υ). Покажем как, имея наблюдавшиеся значения, ответить на поставленные выше вопросы.