Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости

1) Кусочно-гладкая кривая - Множество точек z=z(t)=x(t)+iy(t), где t [a,b] действительный параметр. x(t), y(t) C[a,b]; x'(t), y'(t) -кусочно- непрерывные на [a,b];. x'²(t)+y'²(t) 0 - нет точек возврата, нет точек самопересечения. Если замкнутая кривая, то x(a)=x(b), y(a)=y(b).
2) Криволинейные интегралы второго рода по кривой на плоскости (x,y).

P(x,y)dx+Q(x,y)dy= ; Sn= P(xk*,yk*)D xk+Q(xk**,yk**)D yk; |D zk|=[(D xk)2+(D yk)2]1/2. При этом предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Достаточными условиями существования криволинейного интеграла II рода являются: кусочная гладкость кривой C, кусочная непрерывность и ограниченность функций P и Q.

Основное определение.
Интегралом от функции комплексно переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C комплексной плоскости z называется комплексное число, действительная и мнимая части которого есть криволинейные интегралы второго рода от действительной и мнимой частей f(z) вида:
f(z)dz = [u(x,y)+iv(x,y)] (dx+idy)= udx-vdy +i vdx+udy.
Замечания.
1) Достаточное условие существования- кусочная гладкость контура C и кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|.
2) Из этого определения и определения криволинейного интеграла II рода => $ S_n= f(z)dz; S_n= f(z_i^*)D z_i, причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

Свойства f(z)dz.
Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве п оложительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом ò_c+ f(z)dz или просто ò_c f(z)dz, интегрирование в отрицательном направлении- f(z)dz.
1) f(z)dz=- f(z)dz; 2) Линейность. 3) f(z)dz= f(z)dz+┘+ f(z)dz.
4) | f(z)dz| |f(z)|ds ML_c;
5) Вычисление интеграла интегрированием по параметру: f(z)dz= f[z(t)] z '(t)dt.
Пример. = 2p i. Результат не зависит ни от R₀, ни от z₀!!

6) Замена переменных. Пусть $ j (x): z=j (x); C<=> G на плоскости x и j (x)Î C (D) и однолистная в D, где D- область комплексной плоскости x, содержащая G.
=> f(z)dz= f[j (x)]j '(x)dx.