Последовательности комплексных чисел

Определение " Последовательностью комплексных чисел называют упорядоченное счетное множество комплексных чисел."
Члены последовательности (элементы) располагаются в порядке следования их номеров. Обозначение: {z _n}.

Определение. "Комплексное число z называется пределом последовательности {z_n }, если для " e >0 $ N(e): ï z_n-zï <e для " n N."
Обозначения: {z_n} z; z_n=z.
Примеры. а) (1+z/n)ⁿ=e^z, (z=x+iy); б) arg[(-1)ⁿ/n] не $, т.к arg[(-1)ⁿ/n]=0 при четных n, а при нечетных n arg[(-1)ⁿ/n]=p.
Каждый член последовательности z_n=a_n+ib_n: {z_n}={a_n}+i{b_n}- одновременное задание двух действительных последовательностей.

Теорема. "Необходимым и достаточным условием сходимости
{z_n} z= a+ib является требование {a_n} a; {b_n} b."

Определение. Последовательность {z_n} называется ограниченной,
если $ A: " n ïz_nï<A.
Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. (Теорема Больцано - Вейерштрасса)

Критерий Коши. "Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n} z является требование, чтобы для " e >0 $ N(e): ïz_n+m-z_nï<e для " n N и " m>0.

Неограниченно возрастающие последовательности. Если для " A>0 $ N(A):
ïz_nï >A для "T n>N(A), то последовательность {z_n} называется неограниченно возрастающей.
Примеры. а) z_n=zⁿ при |z|>1; б) z_n= i n.
В обычном смысле они не сходятся, но оказывается удобным считать, что
$ z = ; z_n= . Единственная бесконечно удаленная точка комплексной плоскости. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятся к этой единственной точке. Если {z_n} неограниченно возрастающая, то {x_n=1/z_n} 0. Отсюда легко получить правила арифметических действий с бесконечно удаленной точкой: 1/ =0,. 1/0= , z· = , z 0, z+ = , z/ =0,
z . Операции 0/0 и / являются неопределенными.