Интегральная формула Коши и ее следствия

Пусть f(z) C (). Выразим f(z₀) z₀ g через значения f(z) на . Рассмотрим
j(z)= C ( /z₀). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур g, чтобы точка z₀ попала внутрь ограниченной им области, то j (z) будет аналитической в двухсвязной области g^*, заключенной между и g. По теореме Коши для многосвязной области. интеграл от функции j(z) по кривой +g равен 0: . Т.к. , то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность g_r с центром в точке z₀ и радиуса r. Положив на g _r x = z₀+r e^ij,
dx = ir e^ijdj, получим f(x)dj =i [f(x)-f(z₀)]dj + i f(z₀)dj =I+2p f(z₀).
Оценим I. | I | 2p |f(x)-f(z₀)|. Устремим r 0 при этом. x (r) z₀.Т.к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для "e >0 $ d (e)>0 такое, что
|f(x)-f(z₀)|< e, как только |x (r)-z₀|<d. А это значит, что при r 0 I 0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от r, то переходя к пределу в обоих частях, получим интегральную формулу Коши: f(z₀)= .

Замечания.
1. Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае ⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

2. Интеграл вида I(z0)= имеет смысл для " положения точки z0 на комплексной плоскости при условии, что z0 . Если z0 g, то I(z0)=f(z0), если z0 g, то I(z0)=0, поскольку в этом случае подынтегральная

функция j (x)= C (g) является аналитической всюду в g. При z₀ I(z₀) в обычном смысле не $, однако, при дополнительных требованиях на поведение функции f(x) на контуре границы этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если f(x) удовлетворяет на условию Гельдера: |f(x ₁)-f(x₂)|<C|x₁-x₂|^d,
0<d <1 (Гельдер- непрерывна), то $ главное значение по Коши интеграла I(z₀):
V.p.I(z₀)= , где g_e представляет собой часть контура , лежащую вне круга |x -z₀|<e. При этом V.p.I(z₀)=1/2 f(z₀). Окончательно для f(z)Î C (g) можно записать:
3. Формула верна и для " контура C⁺ g, который можно стянуть к z₀, оставаясь внутри g.

Следствия интегральной формулы Коши.

Пусть f(z)Î C (g).

1 Формула среднего значения. Пусть z₀- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность с центром в z₀ и радиусом R, целиком лежащую в g. Тогда f (z₀)= = (x = z₀+R e^ij)= f(z₀+Re^ij)dj = f(x)ds,
(ds=Rdj, круг K_R g)- формула среднего значения.

2. Принцип максимума модуля. Если f(z) C () и f(z) const, то |f(z)| достигает своего максимального значения только на .