Дифференцирование функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции

Пусть f(z) C(g).
Определение. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z₀ g, если при Dz 0 (D z = z-z₀) $конечный предел разностного отношения
где z₀ g.

Центральная идея теории функций комплексной переменной возникает при формулировке понятия производной. На первый взгляд эта производная определяется совершено аналогично производной функции действительной переменной, как предел разностного отношения .
Однако, приращение комплексного аргумента D z характеризуется не только величиной |D z|, но и направлением arg D z, а производная по определению от этого направления не зависит. Поэтому дифференцируемость функции комплексного переменного- значительно более редкое явление, чем дифференцируемость функции вещественного переменного, а дифференцируемые функции комплексного переменного- аналитические функции- обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительной переменной.

Теорема. Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема(моногенна) в точке z₀, то $u_x(x₀,y₀), u_y(x₀,y₀), v_x(x₀,y₀), v_y(x₀,y₀), причем они связаны условиями
Коши-Римана: u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀); u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀).

Теорема Если в точке z₀=(x₀,y₀) g $ первые дифференциалы функций u(x,y) и v(x,y) и первые частные производные этих функций в точке (x₀,y₀) связаны условиями Коши-Римана, то f(z) √ дифференцируемая (моногенная) функция в точке z₀.

Основное определение. Функция f(z) C(g), дифференцируемая (моногенная) во всех точках z g, производная которой f ' (z) C(g) называется аналитической функцией в области g.

Обозначение: f(z) C (g).
Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g.

Теорема Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность первых частных производных u_x, u_y, v_x, v_y и связь их условиями Коши-Римана.

Теорема Если u(x,y) и v(x,y) C(g) и в точке z₀=(x₀,y₀) g $первые частные производные u_x, u_y, v_x, v_y связаные условиями Коши-Римана, то f(z) √ дифференцируемая (моногенная) функция в точке z₀.

Теорема. Необходимым и достаточным условиями "аналитичности" функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность u(x,y), v(x,y) и в " точке z=(x,y) g $ первые частные производные u_x, u_y, v_x, v_y, связанные условиями Коши-Римана".

Следствия условий Коши-Римана: Попробуйте показать самостоятельно, что
1) Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа:

u_xx+u_yy=Du=0; v_xx+v_yy=Dv=0

2) Действительная и мнимая части аналитической функции f(z)=u(r,j)+iv(r,j) комплексной переменной z=r e^ijсвязаны соотношениями:

v_j =r u_r, u_j =-r v_r.

3) Модуль и аргумент аналитической функции f(z)=R(x,y)e^{iF (x,y)} связаны соотношениями:

R_x=RF_y, R_y=-RF_x

п.3. Свойства аналитических функций.

1) Если f(z) C (g) (аналитическая в g), то f(z) C(g) (непрерывна в g).
2) Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.
3) Если w=f(z) C (g) - аналитическая функция комплексной переменной z, причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция
x=j (w) C (G), то функция F(z)= j [f(z)] C (g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g.
4) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) C (g) и f '(z₀) 0, z₀ g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z=j (w) C (|w-w₀|<e) отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем j '(w₀)=1/ f '(z₀).

5) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция u(x,y), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

6) grad u=(u_x,u_y), grad v=(v_x,v_y), (grad u, grad v)=u_xv_x+ u_y v_y=- u_y v_y+ u_y v_y=0. Т.к. градиент ортогонален линии уровня => линии уровня u(x,y)=c, v(x,y)=c взаимно ортогональны.

Примеры простейших функций комплексной переменой.
1) Константа: f(z)=C - аналитическая на расширенной комплексной плоскости.
f '(z)=0.
2) Линейная функция f(z)=az+b аналитическая на всей комплексной плоскости.
f '(z)=a.
3) f(z)=1/z - аналитическая всюду, кроме точки z=0.
4) f(z)=zⁿ n-целое число- аналитическая на всей комплексной плоскости. f '(z)=nz^n-1
5) f(z)= z^* =x-iy - не аналитическая. u_x=1 v_y=-1;