Определение. F(z) - аналитическая функция комплексной переменной на всей комплексной плоскости кроме кривой C

Пусть C- кусочно-гладкая кривая конечной длины L: ds=L и f(x) непрерывна в" точкеx C. Тогда при z C $ F(z)= - интеграл типа Коши.
Теорема. В " z₀ C F(z₀)- дифференцируема и F'(z₀)= .

Теорема. При z C F(z) C (E\C).

Теорема При zÏ C F(z) имеет непрерывные n-е производные для " n, причем F⁽ⁿ⁾(z)= .

Теорема (Основная!). Если f(z) C (g), то для " n и " z g $ f⁽ⁿ⁾(z) C (g).

Теорема Морера. Если f(z) C(g), g-односвязная и для " g g: f(z)dz=0, где g -замкнутый контур, который можно стянуть в точку, оставаясь в g, то f(z) C (g).

Замечание.
1. Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши.
2. Теорема Морера справедливы и для многосвязных ообластей.

Теорема Лиувилля.
Если f(z) C (E) и f(z) const, то при z , |f(z)| .
Другая формулировка:
Если f(z) C (E) и $ M: |f(z)| M для " z (|f(z)|- равномерно ограничен), то f(z) const.

Определение.
f(z) C (E)(на всей комплексной плоскости) (z ) называется целой функцией.

Целая функция const не может быть ограничена по абсолютной величине.
Так например, целые функции sin z и cos z неограничены по модулю!
Пример целой функции. Функция f(z)=zⁿ.
Отображение области однолистности
Сектор раскрыва 2p /n отображается на всю комплексную плоскость.

Важное замечание. Конфомное отображение плоскости с выколотой точкой или расширенной плоскости на единичный круг невозможно!