Особенности машинной арифметики

Причиной появления вычислительных погрешностей является способ представления чисел на ЭВМ. В привычной нам десятичной системе счисления вещественное число представляется последовательностью символов, начиная со знака ,и продолжается цепочкой десятичных цифр , то есть

Так как десятичная система счисления позиционная, то значение числа вычисляется так:

Все вычислительные машины работают в двоичной системе счисления. В ней то же число выглядит следующим образом:

По форме представления, способу хранения и реализации вычислительных операций на ЭВМ целые и вещественные числа существенно различаются.

Целые представляются так: , где - фиксированное число. Всего для хранения числа отводят разряда, в том числе один разряд на знак числа. Таким образом, обычно не слишком велико, например, для ЭВМ РС Тогда

Арифметические операции сложения, вычитания и умножения производятся точно, если результат меньше или равен . Если же это не так, то ситуация не доводится до сведения пользователя, а результату присваивается некоторое значение меньшее абсолютной величины .

Вещественные числа представляются в форме с плавающей точкой, то есть в виде , где обычно - размерность мантиссы, - двоичный порядок. Порядок также записывается как двоичное целое число , на его хранение отводятся двоичных разрядов . Следует помнить, что на ЭВМ представимы не все числа, а лишь конечный набор рациональных чисел. Это – представимое множество данной вычислительной машины. Для всех остальных чисел возможно лишь их приближенное представление с ошибкой представления (ошибкой округления). Если округление производится усечением, то , если имеет место округление по дополнению, то , называется машинной точностью или машинным эпсилон.