Погрешности арифметических операций

Теорема 1.4. Абсолютная погрешность алгебраической суммы не превосходит суммы абсолютных погрешностей слагаемых, то есть

Доказательство

Запишем формулу для абсолютной погрешности алгебраической суммы двух величин по определению и воспользуемся свойствами модуля. Получим сразу необходимый результат

. (1.3.1)

Теорема 1.5. Пусть - ненулевые числа одного знака. Тогда

(1.3.2)

Доказательство

Поступим так же, как и в предыдущей теореме. Выразим абсолютную погрешность через относительную:

(1.3.3)

Из последних двух равенств видно, что при вычитании двух близких чисел может произойти катастрофическая потеря точности, так как при в последней формуле

Теорема 1.6. Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны следующие оценки:

(1.3.4)

Доказательство

Первая требуемая формула получается традиционным путем:

Для вывода второй оценки предварительно получим, используя свойства модуля, следующую формулу: Тогда

Следствие. Если , то для оценки границ относительных погрешностей можно использовать следующие приближенные равенства Чаще всего на практике делают именно так.