Погрешности функций

Пусть - функция - переменных, дифференцируемая в рассматриваемой области (например, на отрезке ).

Теорема 1.7. Для абсолютной погрешности значения справедлива следующая формула: . (1.4.1)

Доказательство

Вспомним сначала формулу Тейлора* для функции нескольких переменных. Для функции одного переменного разложение в окрестности точки будет иметь вид

Для функции переменных форма записи формулы Тейлора остается точно такой же, если вместо производных записать дифференциалы соответствующих порядков:

где, . Например, для функции двух переменных

Отбрасывая все члены второго порядка и выше, получим

Таким образом, искомая формула сразу вытекает из формулы Лагранжа[**]. Если достаточно мало, то для предельных значений погрешностей можно положить

Для относительных погрешностей тогда имеем следующие формулы:

(1.4.2)

I частный случай. Функция - функция одного переменного. Здесь следует положить , тогда . Для относительных погрешностей все аналогично:

. (1.4.3)

II частный случай. Функция - неявная. Этот случай отличается от исходного только формулой для нахождения частных производных:

Пример. Пусть корни квадратного уравнения вычисляются при коэффициентах Каково влияние погрешностей задания коэффициентов на точность вычисляемых значений?

Решение

Договоримся сразу, чтобы избежать путаницы, об обозначениях. Здесь роль двух функций ( в формулах 1.4.1 и 1.4.2) играют - корни квадратного уравнения. Роль переменных играют - коэффициенты квадратного уравнения. Их всего два. В этих обозначениях . Однако, этих явных уравнений нет, они лишь предполагаются, задана же неявная функция .

Найдем выражения для частных производных .

Отсюда . Тогда по формуле (1.4.2) получим

, где

Здесь первый индекс у коэффициента - номер переменного, а второй индекс соответствует номеру функции, то есть номеру корня квадратного уравнения. Решим исходное квадратное уравнение. Тогда