Разделенные разности и их свойства

Пусть функция задана на таблице значений аргумента с произвольным шагом, причем точки таблицы занумерованы также в произвольном порядке.

Величины называются разделенными разностями первого порядка функции в узлах Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка: - разделенная разность второго порядка в узлах Разделенной разностью -го порядка называется число

(2.6.1)

Эти разности также можно записывать в виде треугольной таблицы:

Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств, изложенных в следующих теоремах.

Теорема 2.5. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов (то есть ее свойства не меняются при любой их перестановке).

Теорема 2.6. Разделенная разность -го порядка выражается через значения функции следующим образом

(2.6.2)

Легко заметить, что под знаком суммы стоят коэффициенты обобщенного многочлена , которые мы получали при выводе формулы Лагранжа (2.3.3). Теорема 2.6 доказывается методом математической индукции; проверим ее лишь для

Теорема 2.7. Пусть функция имеет на отрезке , содержащем точки , производную порядка . Тогда справедливо равенство

(2.6.3)

Теорема 2.8. В случае когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг , конечная и разделенная разность связаны соотношением

(2.6.4)

Для доказательство теоремы очевидно.

2.7. Интерполяционный многочлен Ньютона*

Пусть функция задана в точках таблично, то есть известны

			...
			...

Алгебраический многочлен -й степени

(2.7.1)

называется интерполяционным многочленом Ньютона с разделенными разностями. Очевидна аналогия формулы (2.7.1) с формулой Тейлора. Действительно, так как по теореме 2.7 то Формулы подраздела 2.4о погрешности интерполяции в точке , не являющейся узловой, можно уточнить следующим образом: (2.7.2)

В практическом плане формула (2.7.1) обладает рядом преимуществ перед формулой Лагранжа. Если, например, по каким-либо причинам необходимо увеличить степень интерполяционного многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел , то при использовании формулы Лагранжа это приведет не только к увеличению числа слагаемых, но и к необходимости вычислять каждое из них заново. В то же время для вычисления по формуле Ньютона (2.7.1) достаточно добавить к лишь очередное слагаемое, так как Если величина мала, а функция достаточно гладкая, то справедлива оценка: из которой, с учетом предыдущего равенства, следует, что Тогда величину

(2.7.3)

можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции.

2.8. Вычислительная схема Эйткена*

Согласно этой схеме интерполяционные многочлены любого вида вычисляются последовательно по формулам

(2.8.1)

и так далее. Интерполяционный многочлен -й степени, принимающий в точках значения запишется следующим образом:

(2.8.2)

Действительно, из первой формулы (2.8.1) при сразу получаем

Остальные формулы проверяются аналогично. Кроме того, мы получили, что . Это действительно так по теореме о единственности интерполяционного многочлена -й степени. Таким образом, тождественно совпадают и являются по сути лишь разной формой записи единого интерполяционного многочлена -й степени.

Схема Эйткена применяется там, где не нужно общее выражение , а нужно лишь его значение при конкретных , и при этом значения функции даны в достаточно большом числе узлов. Вычисления по схеме Эйткена удобно вести с помощью таблицы, аналогичной таблице конечных или разделенных разностей:








...	...

Вычисления прекращают, если или если последовательные значения совпадут в пределах заданной точности.

Пример. Вычислить по схеме Эйткена в точке , если задана таблицей:

	1.0	1.1	1.3	1.5	1.6
	1.000	1.032	1.091	1.145	1.170

Составим таблицу и заполним по формулам (2.8.1) ее столбцы, начиная с четвертого:

Следующий столбец таблицы заполняется аналогично:

На этом вычисления можно прекратить, так как совпадают до третьего знака, следовательно, с точностью Итоговая таблица с результатами вычислений приведена ниже.