2015-06-30
375
В прикладных исследованиях, когда возникает необходимость вычисления 
и первообразной не существует, приходиться интеграл считать численно. Наиболее широко на практике используются квадратурные формулы - приближенные равенства вида
(4.5.1)
где 
- некоторые точки из отрезка 
- узлы квадратурной формулы (4.5.1), 
- числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, 
- целое число. Сумма 
, которая принимается за приближенное значение интеграла, называется квадратурной суммой.
Величина 
называется погрешностью или остаточным членом квадратурной формулы. Выведем простейшие квадратурные формулы, исходя из геометрической интерпретации определенного интеграла:
... 
Будем интерпретировать интеграл 
как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции 
, осью абсцисс и прямыми 
Разобьем отрезок на элементарные отрезки 
точками 
Интеграл 
представится таким образом:
(4.5.2)
Введем обозначения: 
Формула центральных прямоугольников. Заменим приближенно площадь элементарной криволинейной трапеции площадью прямоугольника, основанием которого является отрезок , а высота равна значению 
. Тогда сразу получается элементарная квадратурная формула прямоугольников 
Суммируя 
по всему отрезку , получим
(4.5.3)
Совершенно аналогично можно получить формулы 
и 
, которые называются квадратурными формулами левых и правых прямоугольников. Их точность 
, тогда как точность формулы (4.5.3) 
.
Формула трапеций. Соединив точки 
, получим формулу трапеций. Заменим площадь элементарной криволинейной трапеции площадью построенной фигуры. Тогда 
, а итоговая формула примет вид
(4.5.4)
Формула парабол (Симпсона*). Если площадь элементарной криволинейной трапеции заменить площадью фигуры, расположенной под параболой, проходящей через точки 
, то получим приближенное равенство 
- интерполяционный многочлен второй степени с узлами 
Для этих точек справедлива формула
. (4.5.5)
Действительно, легко проверить, что 
, 
, 
. Кроме того, формула (4.5.5) относительно 
представляет уравнение второй степени. Подставим теперь точки , , в уравнение (4.5.5). Получим
Таким образом, точки , , параболы 
удовлетворяют уравнению (4.5.5). Проинтегрируем полученную формулу по отрезку . Тогда
.
Применяя полученную формулу на каждом элементарном отрезке, получим квадратурную формулу парабол (Симпсона)
(4.5.6)
