Зоны запрещенных энергий

Исходя из особенностей химической связи в полупроводниках, можно непосредственно объяснить существование запрещенной зоны энергий. Рассмотрим в качестве примера атомарные полупроводники подгруппы 1УВ и будем пока считать, что в них не имеется никаких химических примесей и структурных дефектов. Тогда из рис. 2.10 видно, что при ненарушенных связях в кристалле все валентные электроны каждого атома (два 5-электрона и два р-элек-трона) участвуют в образовании ковалентных связей. Поэтому все валентные электроны являются в известном смысле структурными элементами и находятся в связанном состоянии. В таком состоянии (температура абсолютного нуля и отсутствие внешних ионизующих воздействий) кристалл является изолятором.

Для создания подвижных электронов необходим разрыв некото­рого количества связей. Это происходит при повышении темпера­туры и под действием подходящих ионизующих излучений (свет, быстрые электроны и т. п.). При разрыве каждой связи возникает один электрон проводимости и одно вакантное квантовое состояние электрона. Наименьшее приращение энергии электрона при его переходе из связанного состояния в состояние проводимости (работа разрыва связи) есть ширина запрещенной зоны энергий Е_й.

Если в полупроводнике имеется электрическое поле, то элек-1 троны проводимости будут двигаться против поля, и возникнет электронный ток с некоторой плотностью ]„. Однако, кроме этого процесса, возможен еще и другой механизм электропроводности. А именно, при нарушенных валентных связях (наличие вакантных мест) какой-либо из электронов связи может перейти в одну из этих вакансий. В результате на месте вакансии будет восстановлена нормальная ковалентная связь, но зато появится вакансия в другом месте. На эту вакансию в свою очередь может перейти какой-либо другой из электронов связи и т. д. При этом, разумеется, возможны переходы электронов связи во всех направлениях. Однако переходы в направлении действующей силы (против поля) будут преимущест­венными, и поэтому возникнет некоторый дополнительный ток \_р, обусловленный перемещением электронов связи. Сами же вакансии будут перемещаться в направлении поля, т. е. так, как двигались бы положительно заряженные частицы. Этот второй механизм электропроводности и есть процесс дырочной проводимости. Сам;. же вакантные квантовые состояния электронов, локализованные у нарушенных ковалентных связей и способные перемещаться по; действием поля, суть положительные дырки. Из сказанного ясно, что в беспримесном полупроводнике концентрация дырок р всегда равна концентрации электронов проводимости п. В гл. IV будет показано, что именно для дырок (а не для электронов связи) полу­чаются простые уравнения движения, аналогичные уравнения-движения положительно заряженных частиц в классической меха­нике, чем и оправдывается введение этого понятия.

Эти представления о механизме дырочной проводимости, рас­смотренные нами качественно на примере полупроводников подгруппы 1УВ, справедливы для полупроводников любого типа

Движение электрона в идеальном кристалле, имеющем минимум энергии в зоне проводимости при к = 0 и максимум на границе зоны Бриллюэна при к = к_d представляется следующим образом. Под действием силы внешнего электрического поля электрон, обладающий наименьшей энергией, будет ускоряться и, следовательно, увеличивать свою энергию. При этом волновой вектор электрона будет возрастать, устремляясь к значению к = к_d. Однако вблизи края зоны Бриллюэна эффективная масса электрона становится отрицательной, что приведёт к торможению электрона и возвратному движению в исходное положение. Таким образом, под действием внешнего поля электрон в идеальном кристалле должен совершать колебательные движения.

В реальных кристаллах поведение электрона совершенно иное. Эта разница в поведении обусловлена большим количеством содержащихся в реальных кристаллах дефектов и колебаниями решетки. Поэтому за время, необходимое электрону для того, чтобы значение его волнового вектора ощутимым образом возросло под действием поля, электрон успевает много раз столкнуться с дефектами решетки и колеблющимися атомами. Обычно при каждом столкновении электрон полностью отдает кристаллической решетке накопленную в электрическом поле энергию. В результате средняя накопленная энергия при не очень сильных электрических полях не может быть значительной и оказывается существенно меньше средней тепловой энергии электрона.

Среднее для всех электронов значение волнового вектора в не очень сильных полях не изменяется значительным образом. Однако в каждом отдельном акте столкновения значение волнового вектора отдельно взятого электрона сильно изменяется. В то же время, как было отмечено выше, количество энергии, отдаваемой электроном кристаллической решетке при каждом соударении, ничтожно мала. Следовательно, волновой вектор электрона при столкновении заметно изменяется лишь по направлению, а не по абсолютному значению, оставаясь практически на одной и той же изоэнергетической поверхности в к-пространстве. Такие соударения электрона называются упругими.

Таким образом, поведение электрона в реальных кристаллах при воздействии электрического поля представляется в следующем виде. На хаотическое тепловое движение электрона накладывается направленный дрейф в электрическом поле, причем средняя энергия электрона, накопленная в электрическом поле, а следовательно, и дрейфовая скорость его оказываются значительно меньше соответствующих тепловых параметров. Действительная длина пути, пройденного электроном, значительно больше пути дрейфа по направлению поля.

Процесс накопления энергии электроном в электрическом поле сопровождается перераспределением электронов по энергетическому спектру, в результате чего функция распределения электронов f (Е) становится неравновесной и отличной от равновесной функции f ₀(Е) Максвелла — Больцмана или Ферми — Дирака. Переход в равновесное состояние функции распределения после выключения внешнего поля, очевидно, происходит в результате столкновений электронов, т.е. посредством их рассеяния. Поскольку отклонение от равновесного состояния невелико, то обычно полагают, что скорость возвращения функции распределения в исходное состояние пропорциональна величине отклонения:

где τ — некоторое время релаксации. Решением (8.1), чевидно, является выражение

В течение времени τ разность f — f ₀ уменьшается в е раз по сравнению с первоначальным значением. Следовательно, время релаксации характеризует стремление частиц прийти к равновесию. Анализ показывает [21, что время релаксации равно среднему времени свободного пробега электрона между двумя столкновениями. Кроме указанного параметра, для описания процессов переноса вводят понятие о средней длине свободного пробега l =υτ, где υ — полная скорость электрона.

Если предположить, что в результате соударения полностью теряется приобретенная, до этого дрейфовая скорость, то среднюю скорость дрейфа электрона можно выразить как:

где qEτ /m_n* представляет собой ускорение электрона во внешнем электрическом поле Е. Знак минус указывает на то, что скорость электрона направлена в противоположную сторону по отношению к направлению напряженности поля. Равенство (8.3) обычно записывают в виде

где μ_n - подвижность электрона, т.е. величина скорости дрейфа, обусловленная полем с напряженностью, равной единице. Нетрудно видеть, что подвижность, равная

учитывает влияние рассеяния носителей на их перенос. Аналогичная формула в случае полупроводников может быть написана и для дырок:

Оценим дрейфовую и тепловую скорость электрона и время релаксации, например, для германия. В чистом германии при комнатной температуре μ_n =.3900 см² /(в·сек). Полагая эффективную массу электрона в германии равной 0,3 m, получим из (8.5) время релаксации τ == 6·10^-13 сек. Известно, что тепловая скорость электрона в кристалле, определяемая из условия

при комнатной температуре равна υ_т ≈2,5·10⁷ см/сек. Дрейфовая скорость электрона в германии при Е = 1 в/см равна 3,9·10³ см/сек, т. е. примерно на четыре порядка меньше, чем тепловая скорость. Интересно отметить, что длина свободного пробега электрона в рассмотренных условиях составляет l ≈1,5·10^{-5 см, что в сотни раз больше межатомных расстояний в:} кристалле.

Рассмотрим далее выражение для электропроводности кристалла. Положим, что время релаксации τ не зависит от скорости электрона, т.е. от его энергии или волнового вектора. При таком предположении все свободные электроны независимо от их расположения в энергетическом спектре имеют дрейфовую скорость, описываемую формулой.

Каждый электрон, летящий в электрическом поле с дрейфовой скоростью υ_n, создает электрический ток — q υ_n. Плотность тока в кристалле, содержащем n электронов в единице объема, очевидно, равна

или, подставляя (8.3), получим

С другой стороны, электропроводность образца σ определяется равенством

Сопоставляя (8.9) и (8.10), получим выражение для электропроводности кристалла:

или

Нетрудно видеть, что электропроводность кристалла пропорциональна концентрации носителей заряда и среднему времени свободного пробега (времени релаксации) или соответственно длине свободного пробега.

Если в кристалле, помимо электронов, содержатся дырки, то плотность тока вместо (8.8) будет выражаться формулой

где υ_р — дрейфовая скорость дырок. Тогда, очевидно, выражение для электропроводности кристалла запишется так:

Полученное выражение широко используется, когда известны из экспериментальных исследований значения подвижностей носителей заряда.

Если кристалл имеет изоэнергетическую поверхность в виде сферы, то полученные выражения для электропроводности справедливы для любого направления тока и поля в кристалле. Однако, если изоэнергетическая поверхность имеет более сложный вид, то электропроводность становится анизотропной. Действительно, поскольку эффективные массы электрона m₁, m₂, m₃, соответствующие главным осям эллипсоида, различны, то различными будут также и подвижности электрона в соответствующих направлениях:

Как было показано, большинство кристаллов имеют не один, а несколько эквивалентных минимумов энергии, расположенных в различных направлениях волнового вектора, причем в каждом из трех основных направлений решетки три главные оси эллипсоидов чередуются. Поэтому в таких кристаллах электропроводность усредняется и становится вновь изотропной:

где величину

можно назвать «омической» подвижностью. Омическая подвижность связана с омической массой m_c* определяемой формулой (6.62), следующим соотношением:

В кристаллах с кубической симметрией изоэнергетические поверхности имеют вид эллипсоидов вращения. Если зона Бриллюэна такого кристалла, содержит лишь один минимум энергии, то электропроводность будет носить анизотропный характер. В этом случае в соответствии с составляющими эффективной массы продольная и поперечная составляющие подвижности будут равны:

Примером полупроводника с таким типом анизотропии электропроводности может служить теллур, у которого поперечная составляющая электропроводности σ_т почти вдвое больше продольной составляющей σ_L. Однако если в кристалле происходит усреднение подвижности электронов по всем изоэнергетическим эллипсоидам зоны Бриллюэна, то электропроводность становится изотропной и описывается выражением (8.17), а омическая подвижность дается формулой

Электропроводность с учетом зависимости τ(υ)

Рассмотренные выше соотношения не учитывали зависимости времени релаксации от скорости или соответственно энергии и волнового вектора частиц. Фактически же скорость частиц, основную часть которой при слабых полях составляет тепловая скорость; существенно влияет на время релаксации. Учет этой зависимости может быть осуществлен усреднением времени релаксации по всевозможным скоростям частиц [23].

Рассмотрим электропроводность с учетом зависимости τ(υ) применительно к невырожденному кристаллу со сферическими изоэнергетическими поверхностями. Как уже было отмечено выше, приложенное к образцу электрическое поле приводит к отклонению функции распределения от равновесного значения. Поскольку это отклонение при не очень сильных электрических полях невелико, то неравновесную, функцию можно разложить в ряд около равновесного значения и ограничиться двумя членами ряда:

где f₀(Е) – равновесная функция распределения Ферми-Дирака или Максвелла-Больцмана.

…………..

Окончательное выражение для плотности тока:

Электропроводность кристалла и подвижность носителей в этом случае соответственно равны:

Таким образом, если известен характер зависимости времени релаксации от энергии τ(Е), то, подставив эту зависимость в (8.37), найдем усредненное время релаксации и электропроводность кристалла.

Электропроводность вырожденного полупроводника

Для вырожденного полупроводника уже нельзя пользоваться классической равновесной функцией распределения, а все рассмотрение, начиная с выражения (8.25), необходимо проводить аналогично с применением функции Ферми — Дирака.

При очень сильном вырождении полупроводника или в случае металла расчет электропроводности несколько упрощается, благодаря тому, что функция распределения имеет почти ступенчатый вид. В интеграле (8.25), содержащем производную df₀/dE, в случае сильного вырождения основную роль играет лишь область значений энергий вблизи Е_ф. При этом все сомножители подынтегральной функции в выражении для плотности тока можно вынести за знак интеграла как относительно медленно меняющиеся функции. Таким образом, после преобразований получим:

Используя (8.41), после соответствующих преобразований, получим

Из этой формулы видно, что все электроны в зоне проводимости сильно вырожденного полупроводника или металла как бы участвуют в электропроводности с одним и тем же.временем релаксации, соответствующим электронам, находящимся вблизи уровня Ферми. Физический смысл формулы (8.42) заключается в том, что в процессе релаксации непосредственное, участие могут принимать лишь только те электроны, энергия которых близка к Е_ф. Поэтому существенную роль играют только те значения времени релаксации, которые соответствуют энергиям вблизи Е_ф. Иными словами, заметные отклонения неравновесной функции распределения, вызывающее появление тока, от своего равновесного положения наблюдаются лишь вблизи уровня Ферми. Следовательно, участвуют в создании электрического тока лишь электроны, расположенные вблизи уровня Ферми. Это обусловлено тем, что лишь эти электроны имеют возможность рассеиваться и совершать случайные переходы в ближайшие свободные состояния.

…….

Изложенные соображения позволяют глубже понять, почему в случае полностью заполненной зоны отсутствует электропроводность. Действительно, в такой зоне нет свободных от электронов состояний, в которые могли бы переходить электроны в процессе накопления энергии и в результате рассеяния. Отсутствует также возможность систематического перемешивания электронов в зоне.

Если поверхности постоянной энергии не обладают сферической симметрией, а, например, представляют собой эллипсоиды, то электропроводность будет величиной анизотропной, причем составляющие подвижности выражаются формулой (8.15), а вместо τ подставляется соответствующее усредненное время релаксации.

Механизмы рассеяния и подвижность свободных носителей заряда

Полученные в предыдущем параграфе формулы для электропроводности в зависимости от времени релаксации не могут быть использованы, пока не будет установлена конкретная зависимость времени релаксации от энергии τ(Е) и произведено соответствующее усреднение. В свою очередь характер зависимости времени релаксации от энергии существенным образом зависит от конкретного механизма рассеяния. Центры рассеяния, т. е. объекты, с которыми могут взаимодействовать (соударяться) свободные носители заряда, могут иметь самую различную природу. Соответственно в реальном кристалле насчитывается сравнительно много различных механизмов рассеяния свободных носителей, каждый из которых дает свою зависимость τ(Е). Наиболее существенными механизмами: рассеяния являются: рассеяние на тепловых колебаниях решетки, на ионизированных и нейтральных атомах примеси, рассеяние на дислокациях, рассеяние в результате электрон-электронного взаимодействия и другие. Результирующее время релаксации и соответствующая подвижность носителей определяются совокупным действием указанных механизмов рассеяния.