Решение одномерного уравнения Шредингера. Волны Блоха

Исходя из сказанного, рассмотрим возможные типы зонных структур в случае конкретного твердого тела. Расположим свободные атомы очень далеко один от другого, однако в соответствии с окончательной кристаллической структурой, и начнем сближать их до тех пор, пока они не займут окончательного положения равновесия. Энергетические уровни свободного атома расщепляются при этом на зоны, которые состоят из совокупности дискретных уровней. Степень расщепления зависит от взаимного расстояния атомов и может быть подсчитана с помощью методов, описанных выше. Таким образом получают энергетические зоны, изображенные на рис. 3-28???, согласно которому расщепление отдельных невозмущенных уровней молено рассматривать как функцию изменения постоянной решетки. Если рассмотреть изменение величины средней энергии от межатомного расстояния, то видно, что при совершенно определенном расстоянии между атомами она достигает минимального значения, соответствующего положению равновесия. Именно наличие этого минимума обусловливает возможность сущест­вования металлической связи. Если теперь при этом состоянии равновесия осуществить вертикальный разрез энергетической диаграммы, то получим зонную структуру металла, характерную для состояния равновесия.

С точки зрения электропроводности решающее значение имеет изучение фактической заселенности расщепленных энергетических уровней. Возьмем, например, одновалентный металл. Соответствующий s-уровень расщепляется на G³ уровней. Согласно принципу Паули на каждом энергетическом уровне может быть по два электрона с проти­воположными спинами. Всего в металле имеется G³ электронов, так что занята лишь половина возможных уровней. Не входя в детальное исследование взаимодействия электрического поля и электронов, мы знаем, что каждый электрон в случае существования электрического тока приобретает определенную энергию, передаваемую ему электрическим полем, следовательно, он должен перейти на более высокий энергетический уровень, чем тот, на котором он находился прежде. Однако это возможно лишь тогда, когда в непосредственной близости к занятым уровням есть свободный, разрешенный уровень. Это справедливо и для одновалентных металлов, о которых идет речь.

Можно было бы ожидать, что в случае с двухвалентными металлами, у которых все уровни заполнены, дальнейшее поглощение энергии электронами и, следовательно, прохождение электрического тока в металлах невозможны. Однако опыт показывает, что это не так: возбужденные уровни свободного атома также расщепляются, и обе зоны в состоянии равновесия могут перекрываться, как показано на рис. 3-38,а. Таким образом, разрешенные энергетические уровни примыкают к заполненным энергетическим уровням, минуя расположенные между ними запрещенные зоны, обеспечивая тем самым прохождение электрического тока и в двухвалентных металлах.

Таким образом, проводником является такое твердое тело, у которого самая верхняя зона, так называемая зона проводимости, еще не полностью заполнена электронами. Рисунок 3-38 показывает, как образуются такие не до конца заполненные зоны в проводниках, имеющих большое практическое значение. В изоляторе электронами заполнен каждый уровень этой зоны. Различные кристаллические модификации одного и того же материала могут вести себя по-разному. Если рассмотреть сильно различающиеся (рис. 3-39, а и б) расположением атомов в решетке различные модификации углерода — алмаз и графит, то окажется неудивительным, что первый является изолятором, а последний — проводником. Если заполненная зона проводимости отделена от расположенной над ней незаполненной энергетической зоны только узкой запрещенной зоной, то достаточно теплового движения электронов, чтобы забросить электроны в незаполненную зону и обеспечить, таким образом, электрическую проводимость. Такой материал — позже о чем будет сказано подробнее — называют полупроводником.

Как мы увидим в дальнейшем, перекрытие зон, а, следовательно, и сам факт, является ли твердое тело проводником, полупроводником или изолятором, определяются постоянной решетки, т. е. расстоянием между атомами, образующими решетку. Оно может быть изменено с помощью механического воздействия, что указывает, следовательно, на взаимосвязь проводимости и механических напряжений в решетке.

Опыт показывает, что в металлах концентрация электронов практически не зависит от температуры. Даже при самых низ­ких температурах в металлах уже имеется большое количество по­движных электронов. Это показывает, что в образовании электро­нов проводимости в металлах тепловое движение не играет сущест­венной роли.

Атомы типичных металлов характеризуются тем, что в них имеется один или несколько электронов, связанных с ядром слабо. При сближении атомов металла такие электроны под действием сил взаимодействия с соседними атомами отщепляются от своих атомов. Они принадлежат уже не какому-либо определенному атому, а всему металлу в целом и движутся по металлу в результирующем поле всех ионов и электронов. Эти отщепившиеся электроны н являются электронами проводимости.

Наряду с металлами мы встречаемся с проводниками и другого типа. Эти проводники являются, так же как и металлы, электронными (проводниками первого класса) и в них электрический ток не сопровождается никакими химическими изменениями. Однако концентрация носителей заряда в таких проводниках чрезвычайно сильно увеличивается с увеличением температуры. Подобные проводники при низких температурах имеют весьма большое удельное сопротивление и практически являются изоляторами, но с увеличением температуры их удельное сопротивление сильно уменьшается и при достаточно высоких температурах становится весьма малым. Вещества такого типа получили название электронных полупроводников.

Полупроводниками являются многие элементы (кремний, германий, селен и др.), закись меди Си₂О, сернистый свинец PbS и многие другие химические соединения. Так, например, по данным опыта можно заключить, что концентрация электронов в чистейшем кремнии при комнатных температурах < 10¹⁷ м^-3, а его удельное сопротивление должно быть > 10³ ом·м; но при температуре 700^o С концентрация электронов в нем возрастает до 10²⁴ м^-3, а удельное сопротивление падает до 0,001 ом·м, т. е. больше чем в миллион раз.

Сильная зависимость концентрации носителей заряда в полупроводниках от температуры показывает, что в этом случае электроны проводимости возникают под действием теплового движения. В полупроводниках атомное взаимодействие само по себе еще не достаточно для отщепления электронов от атомов и превращения их в электроны проводимости. Для этого даже наиболее слабо связанным электронам нужно сообщить некоторую добавочную энергию W — энергию ионизации, которая и заимствуется из энергии теплового движения тела. Чем выше температура, тем большее число электронов будет иметь тепловую энергию, равную или превышающую W, тем большая часть электронов будет существовать в полупроводнике в отщепленном состоянии, т.е. в виде электронов проводимости.

Если величина энергии ионизации W велика по сравнению со средней энергией теплового движения (имеющей порядок kТ) при температурах в области существования данного кристалла, то электроны проводимости в заметном количестве не образуются и такой кристалл будет изолятором.