Зонная теория твердого тела

В дальнейшем следует учитывать, что потенциал внутри тела не постоянен, а соответствует периодичности решетки. Следовательно, вопрос в том, как ведет себя электрон в периодическом потенциальном поле согласно представлениям квантовой механики. В следующем разделе эта задача будет решена количественно. Здесь же мы хотим прежде всего добиться качественной характеристики ожидаемых результатов.

Мы начнем с рассмотрения двух различных путей: во-первых, рассмотрим, что происходит при движении свободного электрона в периодическом потенциальном поле; во-вторых, рассматривая электроны, находящиеся в связанном состоянии, исследуем, как изменяется это состояние при объединении в металле множества атомов.

В соответствии с первым способом рассмотрения проблемы плоская волна, описывающая электрон, должна двигаться в пространстве с периодическим потенциалом. Если эта волна достигнет точки кристалла, н которой потенциал меняется скачкообразно, т. е. встретится с ионом, это приведет к рассеиванию, как и в случае световой волны, которая попадает на маленькую частицу вещества. Из точки скачка потенциала, обусловленного наличием иона, исходят сферические волны по всем направлениям. В связи с тем, что ионы металла находятся в узлах правильной кристаллической решетки, интерференция сферических волн в направлении падения приводит к усилению последних; во всех других направлениях волны, напротив, ослабляются. В результате плоские волны проходят вещество без рассеивания и, следовательно, без потери интенсивности. Однако из рентгеноструктурного анализа известно, что при определенных углах падения и длинах волн обеспечиваются условия полного отражения — брэгговское отражение. Определение длины волны электрона однозначно задает величину импульса и энергии, так что электроны, обладающие определенной величиной импульса и соот­ветствующей ему величиной энергии, не могут двигаться сквозь металл. Отсюда одновременно следует, что вероятность значений, близких к этим дискретным величинам, тоже очень мала. Таким образом, видно, что энергия электрона не может принимать любое произвольное значение: наряду с разрешенными значениями энергии есть и запрещенные значения или зоны.

С помощью второго способа рассмотрения приходят качественно к такому же выводу, т. е. к тем же энергетическим зонам. Рассмотрим сначала два одинаковых атома, бесконечно удаленных друг от друга. Тогда их внешние электроны могут иметь различные энергетические уровни в соответствии с тем, что основному и возбужденным состояниям атома соответствуют различные дискретные значения энергии, которые при сближении этих атомов изменяются вследствие взаимодействия между атомами, и энергетические уровни расщепляются. Это может быть наглядно прослежено на рис. 3-28, где энергетические уровни представлены как функция расстоя­ния между атомами для случая с 8 атомами.

Поскольку в реальном металле очень много атомов и, кроме того, расщепленные уровни находятся очень близко друг от друга, мы получаем зоны с почти непрерывным распределением энергии (рис. 3-29).

Первоначальные дискретные энергетические уровни, расщепляясь, образуют зоны, состоящие из очень большого количества находящихся близко друг от друга энергетических уровней, на каждом из которых согласно принципу Паули могут быть размещены два электрона. Нельзя, однако, обнаружить электрон с величиной энергии, приходящейся на интервал между двумя такими зонами. Этот интервал называется запрещенной зоной. В следующем разделе будет проведено соответствующее количественное рассмотрение. После этого мы еще раз вернемся к качественному рассмотрению зонной структуры.