Задача 2. В отрасли работают только две фирмы, предельные издержки которых одинаковы и равны нулю

В отрасли работают только две фирмы, предельные издержки которых одинаковы и равны нулю. Отраслевой спрос имеет функцию: Q_D = 300 – P,

где Р - цена продукта, грн за 1 ед., Q_D - объем спроса, тыс. ед.

Определить равновесный отраслевой объем выпуска и рыночную цену продукции, если: а) в отрасли установится равновесие Курно;

б) дуополисты объединятся в отраслевой картель.

Решение:

1) По равновесию Курно, равновесный объем выпуска и рыночную цену находим по функциям реагирования, которые имеют следующий вид:

P_1,2 = 1/3(P_MAX + 2AC);

Q_1,2 = 1/3(P_MAX – AC).

Долгосрочные АС = МС, которые по условию задачи равны нулю, т.е. АС = 0. P_MAX - цена, при которой объем спроса равен нулю. Согласно заданной функции спроса:

Q_D = 300 – P;

0 = 300 – Р

P_MAX = 300.

Подставим в функции реагирования приведеные данные и найдем рыночную цену, объемы выпуска каждой фирмы и совокупный отраслевой объем производства продукта:

Рравн. = Р_1,2= 1/3(300 +2 * 0) = 100 (грн);

Q_1,2 = 1/3(300 – 0) = 100 (тис. ед.);

Qобщ. = Q₁ + Q₂ = 100 + 100 = 200 (тыс. ед.).

2) Если дуополисты объединятся в картель, равновесный объем выпуска находим по общему правилу равновесия: MR = MC.

MR найдем как производную от TR, исходя из того, что TR = Р * Q:

Q_D = 300 – P

P = 300 – Q_D

TR = Q·(300 – Q) = 300Q – Q²

MR= (TR)' = (300Q – Q²)'= 300 – 2Q

MR = MC = 0 (по условию)

300 – 2Q = 0

Q картеля = 150 (тыс. ед.)

P картеля К = 300 – P = 300 – 150 = 150 (грн).

Вывод: Объединение дуополистов в концерн позволило им повысить цену по сравнению с ценой, сложившейся в условиях равновесия Курно – Рравн. = 100 грн, Ркартеля = 150 грн. Это повышение цены стало возможным за счет сокращения отраслевого объема выпуска с 200 тыс. единиц продукции в условиях равновесия Курно до 150 тыс. ед., которые выпускает картель.

Задача 3.

Обратная функция рыночного спроса в условиях дуополии Курно имеет вид:

P = 100 - 0,5 (Q₁ + Q₂).

Функции совокупных расходов фирм - дуополистов заданные такими уравнениями:

TC₁ = 5Q₁; TC₂ = 0,5 Q₂²,

где Р - цена продукта, грн за 1 ед., Q₁, Q₂ - соответственно объемы выпуска двух фирм, ед. продукта.

Найдите функции реагирования дуополистов, равновесные объемы выпуска продукции для каждой фирмы и полученную ими прибыль.

Решение:

1) Функции реагирования в модели Курно - это функции равновесных объемов выпуска фирм, которые можно найти по общему правилу MR = MC. MR и MC для каждой фирмы найдем как производные от их TR и TC, исходя из того, что TR = P • Q, а ТС для обеих фирм заданные в условии задачи.

а) Находим функцию реагирования для фирмы 1:

TR₁ = P·Q₁ = (100 – 0,5(Q₁ + Q₂)·Q₁ = 100Q₁ -0,5Q₁² –0,5Q₁·Q₂;

MR₁ = (TR)' =(100Q₁ -0,5Q₁² – 0,5Q₁·Q₂)' = 100 – Q₁ – 0,5Q₂;

МС₁ = (ТС₁)' = (5Q₁)' = 5;

MR₁ = MC₁;

100 – Q₁ – 0,5Q₂ = 5;

R₁ = Q₁ = 95 – 0,5Q₂.

б) Находим функцию реагирования для фирмы 2:

TR₂ = P·Q₂ = ((100 -0,5(Q₁ + Q₂)}·Q₂ = 100Q₂ – 0,5Q₁Q₂ – 0,5Q₂²;

MR₂ = (TR₂)' = (100Q₂ - 0,5Q₁Q₂ – 0,5Q₂²)' = 100 – 0,5Q₁ – Q₂;

MC₂ = (TC)' = (0,5Q₂²)' = Q₂;

MR₂ = MC₂

100 – 0,5Q₁ – Q₂ = Q2

2Q₂ = 100 – 0,5Q₁

R₂ = Q₂ = (100 – 0,5Q₁): 2 = 50 – 0,25Q₁.

Итак, функции реагирования для дуополистов являются

Фирми1: R₁ = Q₁ = 95 - 0,5 Q₂.

Фирмы 2: R₂ = Q₂ = 50 - 0,25 Q₁.

2) Равновесный объем выпуска находим, объединив функции реагирования в систему:

Q₁ = 95 – 0,5(50 – 0,25 Q₁);

Q₁ = 95 – 25 + 0,125 Q₁;

0,875 * Q₁ = 70

Q₁ = 80 (од. продукту)

Q₂ = 50 – (0,25·80);

Q₂ = 30 (од. продукту).

3) Равновесную цену находим по функции спроса:

P = 100 – 0,5(Q₁ + Q₂)

P = 100 – 0,5(80 + 30)

P= 45 (грн)

4) Прибыль каждой фирмы находим как разность между ее выручкой и совокупными затратами:

П₁ = TR₁ – TC₁= P·Q₁ - 5Q₁;

П₁ = 45·80 - 5·80 = 3200 (грн);

П₂ = TR₂ – TC₂ = P·Q₂ – 0,5Q₂²;

П₂ = 45·30 – 0,5·30² = 900 (грн).

Вывод: Функции реагирования дуополистов при равновесия Курно: R₁ = Q₁ = 95 - 0,5 Q₂; R₂ = Q₂ = 50 - 0,25 Q₁. Равновесный объем выпуска первой фирмы 80 ед. продукции, второй - 30 ед. Рыночная цена - 45 грн за 1 ед. продукта. Прибыль первой фирмы - 3200 грн, второй - 900 грн.

Задание на дом:

ВАРИАНТ 1.