Упражнение 35

Пусть PQ – сторона многоугольника Т, СÎPQ, A и B обе внутренние или обе внешние точки многоугольника Т. Тогда, если отрезки АС и ВС не имеют общих точек с Т, то отрезки АС и ВС лежат в одной полуплоскости от прямой PQ.

(Assume they both are inside and prove from the opposite. Continue ray AC over C. Find A¢| TÇCA¢=Æ (why is it possible?). All points of CA¢ lie outside T (why?). Apply the previous exercise to triangle CA¢B and find D| BDÇT=Æ. Use #31 to come to contradiction)

Пусть теперь нам даны ломаная Г и точка АÏГ. Проведём из точки А луч до первого пересечения с Г в точке М. Это может быть как внутренняя точка звена ломаной, так и её вершина. Наша очередная цель – доказать, что точку А можно соединить ломаной L c любой другой точкой Q того звена, на котором лежит М, включая обе его вершины так, что ГÇL=Æ. Пусть отрезки МР и MQÎГ. Они могут быть как отрезками одного звена (если М – его внутренняя точка), так и принадлежать двум соседним звеньям, если М – вершина ломаной Г. Рассмотрим отдельно два случая. Сначала разберём случай, когда луч МРÇAQ=Æ.

Упражнение 36.
Докажите, что в этом случае существует ломаная АTQ из двух звеньев, ведущая из А в Q и не пересекающая ломаную Г.

Пусть теперь МРÇAQ¹Æ. Рассмотрим тогда дополнительный к МР луч h. Если он пересекает Г, то возьмём на нём внутреннюю точку N отрезка, соединяющего М и точку первого пересечения луча h с ломаной Г, если же нет, то любую точку N этого луча.