Упражнение 31

Если точка А лежит внутри многоугольника и отрезок АВ не имеет общих точек с многоугольником, то все точки этого отрезка лежат внутри многоугольника. Конец В при этом может при этом лежать как внутри многоугольника так и на этом многоугольнике.

Аналогичное утверждение справедливо и для точки лежащей вне многоугольника.

(Let N be first meeting point of ray AB with polygon T, it can happen to be B itself, and let M play the same role with ray BA. If BA does not intersect T, let it be any point| A lies between M and B. Use ex. 7 and 27)

Упражнение 32.

Если точка А₀ лежит внутри многоугольника и ломаная А₀А₁…А_n не имеет общих точек с многоугольником, за исключением, возможно, последней точки А_n, то ни одна из точек ломаной не может лежать вне многоугольника. Разумеется, тот же факт имеет место с перестановкой слов «внутри» и «вне».

Пусть теперь даны замкнутая ломаная и треугольник АВС, причём, если некоторый отрезок PQ этой ломаной имеет точки внутри треугольника, то с самим треугольником этот отрезок, включая его концы P и Q, может иметь общие точки только на стороне АС.