Пример 5

Чему равна напряженность электрического поля равномерно заряженного стержня с линейной плотностью t в точке, находящейся на расстоянии R от оси стержня? Углы, образованные стержнем и прямыми, проходящими через его концы и точку A равны, соответственно a ₁ и p - a ₂ .

Дано: t R a 1 p - a 2	Решение: Расстояние от исследуемой точки поля A до оси стержня может быть любым, поэтому заряд на стержне не является точечным. Выделим на стержне элемент длины dl (рис.11). На нем располагается элементарный заряд dq = t×dl, который можно считать точечным.
E -?

Напряженность поля, созданного зарядом dq в исследуемой точке, можно разложить на две составляющие, одна из которых перпендикулярна, а другая - параллельна оси стержня.

(1)

Обозначим a угол между радиусом - вектором и стержнем. Радиус- вектор направлен от элемента dl к точке А. Тогда

dE _^ = dE× sin a, dE _|| = dE× cos a (2)

Рис. 11

Прежде чем интегрировать вы- ражения (2), нужно преобразо- вать выра жение (1) так, чтобы можно было интегрировать по углу a. Выразим элемент дли- ны проводника dl через da. Из рис. 11 видно что т.е. , но , , т.е. r - величина переменная, зави- сит от a. Тогда .

Подставив dl и r в формулу (1), получим

(3)

(7)

Чтобы найти параллельную и перпендикулярную составляющие напряженности, нужно проинтегрировать выражения (2) в пределах от a ₁ до a ₂ предварительно подставив выражение dE из (3).

(6)

. (4)

. (5)

Модуль вектора равен:

.

Чтобы избежать громоздких записей, преобразуем сначала подкоренное выражение:

(cos a₁ - cos a₂)² + (sin a₂ - sin a₁)² = cos² a₁ + cos² a₂ – 2cos a₁ × cos a₂ + + sin² a₂ + sin² a₁ – 2sin a₂ sin a₁ = (sin² a₁ + cos² a₁) + (sin² a₂ + cos² a₂) – – 2(sin a₁ sin a₂ + cos a₁ cos a₂) = 2[1 – cos(a₁ - a₂)] = .

Тогда модуль напряженности:

(6)

Чтобы найти направление вектора , определим угол a:

Рассмотрим частный случай: точка А находится против середины стержня. Тогда из соображений симметрии E_|| = 0, E = E _^и cos a₂ = - cos a₁. С учетом этого формула (4) примет вид:

. (7)

При этом a₁ = p - a₂. Покажем, что в предельных случаях поле, образованное заряженной нитью конечной длины, переходит в электрическом поле бесконечно протяженной нити и точечного заряда. Из чертежа видно, что cos a₁ = cos(a - a₂) = , где L - длина стержня.

а) При R << L величиной R можно пренебречь и cos a ₁» 1. Отсюда - это напряженность поля бесконечной протяженной нити. Подставим значение cos a ₁ в формулу напряженности (7)

Произведение t × L = q, т.е. заряду, находящемуся на нити.

б) При R>>L величиной L /2 можно пренебречь, тогда и - это напряженность поля точечного заряда.

Пример 6.

В вакууме образовалось скопление зарядов в виде тонкого длинного цилиндра с объемной плотностью r =1·10^-10 Кл/м³ и радиусом R = 10 см. Найти напряженность поля в точках, отстоящих от оси цилиндра на расстоянии 5 см и 15 см, а также вид зависимости Е (r).

Дано: R = 0,1 м r = 1·10-10 Кл/м3 r1 = 0,05 м r2 = 0,15 м e = 1	Решение: Через точки 1 и 2 проведем в виде цилиндров радиусом r 1 и r 2 замкнутые поверхности (рис.12). Поток вектора напряженности, пронизывающий боковую поверхность цилиндра радиуса r 1, равен: NE(1) = E 1×2 pr 1 × l, где l - длина образующей цилиндра. (Поток через основание цилиндра равен нулю).
Е1 =? Е2 =? Е(r) =?
●2 l

Рис. 12

По теореме Гаусса: . .Отсюда: E ₁×2 pr ₁× l = Точка 1 находится внутри цилиндра радиуса R. Поэтому для любой точки с имеем:      

E (r) = ,

т.е. напряженность линейно растет с увеличением расстояния.

Поток напряженности, пронизывающий поверхность второго цилиндра, находится аналогично

По теореме Гаусса N_E(2) = = .

Приравнивая правые части равенств, найдем

E₂ = .

Зависимость Е (r) при r > R имеет вид

E (r) =

Напряженность убывает пропорционально . При r = R

E_R = =

На поверхности цилиндра напряженность имеет максимальную величину.

Проверим единицы напряженности

[ E ] = = = .

Произведем вычисления учитывая, что

E₂ =

Графически зависимость Е (r) представлена на (рис.13).

r		R	2R	3R	4R	5R	6=R	7R
E		ER	ER/2	ER/3	ER/4	ER/5	ER/6	ER/7

E

E_R