Сходимость

Утверждение 7.2. Пусть f (х) дважды непрерывно дифференцируемая и сильно выпукла на Rn, а ее матрица Гессе Н (х) удовлетворяет условию Липшица

|| H (x) – H (y)|| ≤ L || x – y || ∀ x, y ∈ Rn.

Тогда последовательность { х k } сходится независимо от выбора начальной точки х 0 к точке минимума х * с квадратичной скоростью где т — оценка наименьшего собственного значения матрицы.

Замечание 7.2. Сходимость к точке минимума метода Ньютона-Рафсона гарантируется независимо от выбора начального приближения лишь для сильно выпуклых функций. Поэтому при практическом использовании метода Ньютона-Рафсона следует:

а) анализировать матрицу Гессе H (х k) на выполнение условия H (х k) > 0, k = 0, 1,..., и заменять формулу xk + 1 = xk – tkH – 1(xk) ∇ f (xk) на формулу метода градиентного спуска xk + 1 = xk – tk ∇ f (xk) в случае его невыполнения;

б) производить анализ точки х k с целью выяснения, является ли она найденным приближением искомой точки х *.