Ранг матрицы

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов.

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел m или n.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры.

Вычисление ранга матрицы

Идея практического метода вычисления ранга матрицы заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к треугольному виду. Тогда ранг матрицы будет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

Элементарными преобразованиями называют следующие преобразования матриц:

1) Умножение или деление строки на число, отличное от нуля;

2) Сложение и вычитание строк;

3) Перестановку строк;

4) Вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) Транспонирование

Те же операции, применяемые для столбцов, также являются элементарными преобразованиями.

Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~ , Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.