2015-06-24
2007
Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.
I. Неопределенность вида 
.
Пример. Вычислить предел 
При подстановке вместо переменной х числа -2 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х+ 2. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа -2 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.
Пример. Вычислить предел 
При подстановке х =0 получается неопределенность вида .
Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное числителю выражение:
= 
.
II. Неопределенность вида 
.
Для раскрытия этой неопределенности нужно каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на переменную в наибольшей степени и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность.
Пример. Вычислить предел 
Здесь числитель и знаменатель не имеют предела, т.к. оба неограниченно возрастают. В этом случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое на переменную в наибольшей степени, т.е. на х 4. Получим:
= 
= 
Величины 
являются бесконечно малыми при 
и их пределы равны нулю. Следовательно, искомый предел равен .
Пример. Вычислить предел 
Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на х 2. Получим:
