Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(х) и b(х) бесконечно малые функции при х ® А. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x ¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Бесконечно малые функции a(х) и b(х) при х ® А называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Записывают a(х) ~ b(х).

При х ®0 эквивалентными бесконечно малыми являются следующие функции:

1. sin x ~ х;

2. tg x ~ x;

3. ln(1+ x) ~ x;

4. e^x – 1 ~ x;

5. 1 – cos x ~ ;

6. a^x – 1 ~ x ln a;

7. (1 + x) ^a – 1 ~ ax;

8. arcsin x ~ x;

9. arctg x ~ x.

Пример. Найти предел

Так как tg5 x ~ 5 x и sin7 x ~ 7 x при х® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cos x = при х ®0, то .