Периодические функции. Периодические процессы

Определение. Функция f(x), определенная на множестве D, называется пеиодической, с периодом Т>0, если при каждом значение и выполняется равенство f(x+T)=f(x).

Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить его во всю область определения.

Свойства периодической функции:

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.

2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет период .

3. Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема на отрезке [x₀;x₁]ÎR, то при любых .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции.

Простейшим периодичесикм процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией: , где Если произвести преобразования, то получим , т.е. простое гармоническое колебание описывается простыми периодическими функциями.

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или беконечного) числа простых гармоник (функция, период у которой ), также описывается функцими вида , т.е.