Приближенное вычисление определеного интеграла

Пусть требуется вычислить . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (-R;R) включит в себя отрезок [a;b], то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интерирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример. Вычислить интеграл с точностью до .

Расскладываем подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменив х на (-х²):

. Интегрируя обе части равенства на отрезке [0;1/4], лежащем внутри интервала сходимости, получаем:

Получили ряд лейбницевского типа. Так как , а , то с точностью до 0,001 имеем: .