Тригонометрический ряд

Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:

или, короче,

Действительные числа a_i, b_i называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма представляет собой периодическую функцию с периодом 2p, т.к. функции sin nx и cos nx также периодические функции с периодом 2p.

Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке [-p; p], а следовательно, и на любом отрезке в силу периодичности, и его сумма равна f(x).

Определим коэффициенты этого ряда.

Для решения этой задачи воспользуемся следующими равенствами:

Справедливость этих равенств вытекает из применения к подынтегральному выражению тригонометрических формул.

Т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [-p; p], то существует интеграл

Такой результат получается в результате того, что .

Получаем:

Далее умножаем выражение разложения функции в ряд на cos nx и интегрируем в пределах от -p до p.

Отсюда получаем:

Аналогично умножаем выражение разложения функции в ряд на sin nx и интегрируем в пределах от -p до p.

Получаем:

Выражение для коэффициента а₀ является частным случаем для выражения коэффициентов a_n.

Таким образом, если функция f(x) – любая периодическая функция периода 2p, непрерывная на отрезке [-p; p] или имеющая на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода, то коэффициенты

существуют и называются коэффициентами Фурье для функции f(x).

Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье. Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.