Перевод числа из двоичной(восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную

Позиционные системы счисления (ПСС)

В ПСС вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в qдесятичном числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись суммы

700 + 50 + 7 + 0,7

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления – это количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Запись чисел в системе счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

a_n_-1 qⁿ^-1 + a_n_-2 qⁿ^-2 + …+ a₁ q¹ + a₀ q⁰+ a_-1 q^-1+ …+ a_-_m q^-^m, где a_i – цифры системы счисления, n и m число целых и дробных разрядов соответственно.

Кроме десятичной, широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2. а именно:

- двоичная (0, 1);

- восьмеричная (0, 1,…, 7)

- шестнадцатеричная (0,1,…,9,A,B,C,D,E,F)

Перевод целого числа из десятичной системы в любую другую ПСС

Для перевода целого десятичного числа N в систему счисления с основанием q необходимо разделить N на q с остатком. Затем неполное частное, полученное от этого деления, нужно снова разделить на q с остатком и т. д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным 0.

Число N системе счисления с основанием q представляется в виде упорядоченной последовательности полученных остатков деления, обратных порядку их получения.

Пример. Переведемчисло 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Двоичная: 75! 2

1! 37! 2

1! 18! 2

0! 9! 2

1!4!2

0!2!2

0!1!2

1!0

Ответ: 75₁₀=1 001 011₂

Восьмеричная: 75! 8

3! 9! 8

1! 1! 8

1!0

Ответ: 75₁₀=113₈

Шестнадцатеричная: 75! 16

11! 4! 16

4!0

Ответ: 75₁₀=4B₁₆

Перевод правильной десятичной дроби в любую другую ПСС.

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе. Затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q и т. д., пока дробная часть очередного произведения не станет равной 0, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q- ичной системе.

Представлением дробной части числа F в новой системе счисления с основанием q будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q- ичной цифрой.

Пример. Переведемчисло 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

Двоичная: 0,!36

! * 2

0!72

! *2

1!44

!*2

0!88

!*2

1!76

!*2

1!52

Ответ: 0,36₁₀=0,01011₂

Восьмеричная: 0,!36

! * 8

2!88

! *8

7!04

!*8

0!32

Ответ: 0,36₁₀=0,270₈

Шестнадцатеричная: 0,!36

! * 16

5!76

! *16

12!16

Ответ: 0,36₁₀=0,5С₁₆

Перевод числа из двоичной(восьмеричной, шестнадцатеричной) системы в десятичную

Перевод в десятичную систему числа Х =(а_n а_n-1… а₀ а_-1… а_-_m) сводится к вычислению значения многочлена Х₁₀ ₌ а_nqⁿ + а_n-1qⁿ^-1+_…+ а₀ q⁰ + а_-1 q^-1 +_… +а_-_m q^-m средствами десятичной арифметики.