С кратными основаниями

Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную систему можно выполнить проще, если использовать поразрядные способы перевода для систем с кратными основаниями. Системы счисления называют системами с кратными основаниями, если для оснований систем счисления p и q справедливо соотношение: p = q^k, где k – натуральное число.

Примером систем с кратными основаниями являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы (2³ = 8; 2⁴ = 16).

Перевод чисел в системах с кратными основаниями прост и не требует выполнения арифметических действий.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную систему и обратно основан на замене каждой восьмеричной цифры тремя двоичными разрядами – триадой, и наоборот – замене каждой группы из трех двоичных разрядов одной восьмеричной цифрой.

Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную систему основан на замене каждой шестнадцатеричной цифры четырьмя двоичными разрядами – тетрадой, и наоборот – замене каждой группы из четырех двоичных разрядов одной шестнадцатеричной цифрой.

При переводе чисел в системах с кратными основаниями, для которых справедливы соотношения p = 2^к и q = 2^m, удобно воспользоваться табл. 2.

Рассмотрим на примерах перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную и обратно.

П р и м е р 1.

Дано: А₈ = 205,24₈. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим триадой:

А₈ = 2 0 5, 2 4;

А₂ = 010 000 101, 010 100.

Ответ: А₂ = 10000101,0101₂.

П р и м е р 2.

Дано: А₁₆ = 2Е5,24₁₆. Найти: А₂.

Для получения результата каждую двоичную цифру заменим тетрадой:

А₁₆ = 2 Е 5, 2 4;

А₂ = 0010 1110 0101, 0010 0100.

Ответ: А₂ = 1011100101,001001₂.

П р и м е р 3.

Дано: А₂ = 1010110,11001₂. Найти: А₈ и А₁₆.

Для перевода необходимо разбить заданное двоичное число влево и вправо от запятой на триады (тетрады). Неполные триады (тетрады) дополняются нулями:

А₂ = 001 010 110, 110 010;

А₈ = 1 2 6, 6 2;

А₂ = 0101 0110,1100 1000;

А₁₆ = 5 6, С 8.

Ответ: А₈ = 126,62₈; А₁₆ = 56,С8₁₆.

П р и м е р 4.

Дано: А₁₆ = АВВА,D0C₁₆. Найти: А₈.

Для упрощения перевода из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно в качестве промежуточной системы удобно использовать двоичную систему:

А₁₆ = А В В А, D 0 C;

А₂ = 1010 1011 1011 1010, 1101 0000 1100;

А₂ = 001 010 101 110 111 010, 110 100 001 100;

А₈ = 1 2 5 6 7 2, 6 4 1 4.

Ответ: А₈ = 125672,6414₈.