В.И. Сушков

Инвариантность первого дифференциала
- нелепость в курсе математического анализа

В сотнях тысяч экземпляров учебников [4-6], в тысячах повторяющих их "методических" изданий ВУЗов, в лекциях сотен лекторов, на 4700 страницах 536 сайтов, словами "инвариантность первого дифференциала" и "не инвариантность старших дифференциалов" означены неверные и нелепые утверждения. Цитирую.

Насильственное переобозначение Δ х на d x (изгнание Δх).

Цитата 1 Э.Гурса [2] стр. 56: “...d y = f ' (x)Δ х. Если функция f (x)равна х, то предыдущая формула обращается в dx = Δ х; поэтому для большей симметричности пишут: d y=f ' (x)d x с тем условием, чтобы приращение d x независимого переменного рассматривалось как постоянное количество, впрочем, вполне произвольное. ”

Цитата 2 Л.Д.Кудрявцев [6] стр. 160: “Для большей симметрии записи дифференциала приращение Δ x обозначают d x и называют его дифференциалом независимого переменного. Таким образом дифференциал можно записать в виде d y = A d x ”

Поразительно, но это "обоснование" изгнания Δ x из жизни дифференциалов попало в Математическую энциклопедию [8].

"Инвариантность первого дифференциала"

Цитата 3 Г.М. Фихтенгольц [4] п.106: “...Мы всегда имеем право писать дифференциал у в форме... < y ' dx - Сушков В.И. >, будет ли х независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано t, то dx означает не произвольное приращение Δ х, а дифференциал х как функции от t. Это свойство и называют инвариантностью формы дифференциала. ”

Цитата 4 Л.Д.Кудрявцев [6] стр. 177: “...(инвариантность формы первого дифференциала относительно преобразования независимой переменной) <...>...дифференциал имеет один и тот же вид: произведение производной по некоторой переменной на "дифференциал этой переменной" - независимо от того, является эта переменная в свою очередь функцией или нет”

"Не инвариантность старших дифференциалов"

Цитата 5 Л.Д.Кудрявцев [6] на стр. 191 пишет, что формулы dⁿ f = f ⁽ⁿ⁾(x) d x ⁿ

“..справедливы, вообще говоря, при n>1 (в отличие от случая n=1) только тогда, когда x является независимым переменным. В случае дифференциалов высших порядков по зависимым переменным дело обстоит сложнее”.

Поясняю. Л.Д. Кудрявцев был должен писать старшие дифференциалы в виде

dⁿ f = f ⁽ⁿ⁾(x) Δ x ⁿ (1)

т.к. формулу f ⁽ⁿ⁾(x) d x ⁿ получил дифференцированием по x дифференциала

d f = f ' (x) Δ x (2)

в котором вслед за [1-4] положил Δ x = constи сменил обозначение Δ x наd x. Смысл утверждения (цитата 5): в (1) при n>1 якобы нельзя полагать x функцией.

Цитата 6 Шилов Г.Е. [10] стр. 285: “Мы видим, что в отличие от первого дифференциала второй (и высшие) меняются, если независимое переменное становится зависимым, т.е. функцией от нового независимого переменного.“