Формула Тейлора

Теорема: Пусть и f имеет в некоторой окрестности все частные производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

где .

Доказательство.

Выберем , такие что и рассмотрим функцию при фиксированных и .

Вычислим ,

;

,

;

…

,

.

Продолжим F(t) на (- ;1] при некотором >0. Применим к F(t) формулу Тейлора в т. 0 с остаточным членом в форме Лагранжа. Получаем:

,

где c – некоторое число и .

Подставим вместо t единицу и заметим, что F(1)= .

Тогда получаем:

,

где

Пример.

Найти разложение в т (0;0) по формуле Тейлора 3-го порядка.

где .

Замечание: если функция z=f(x,y) имеет все частные производные n-ого порядка в точке (), то имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано:

, где .