Отображения и их дифференцируемость

Определение. Отображением называется однозначное соответствие точке из точки .

Часто рассматриваются непрерывные отображения.

Определение. Отображение называется непрерывным в точке , если такое, что и удовлетворяющего условию .

Определение. Проекцией называется функция, которая ставит в соответствие каждой точке точку .

Определение. Отображение : задается n функциями от m переменных:

Функции f называются координатными функциями отображения f, j=1, 2, …, n.

Замечание. Отображение может быть рассмотрено как вектор из координатных функций .

Определение. Отображение называется дифференцируемым в точке , если существует линейное отображение такое, что и где - некоторая окрестность имеет место формула , где - длина вектора .

Теорема. Пусть и . дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда для любого координатная функция дифференцируема в точке . Кроме того

- матрица Якоби (Якобиан).

Доказательство (необходимость). Пусть дифференцируема в точке , тогда для любого такого, что точка имеет место разложение .

Пусть , тогда .

Рассмотрев координату вектора, получаем .

Это означает, что дифференцируема в точке и .

Достаточность. Пусть дифференцируема в точке , для . Тогда . Составляем вектор из и получаем дифференцируемость отображения.