2015-06-26
358
4.1. Пример выполнения задания 2.4
Пусть требуется найти определитель:
Поступим следующим образом: Сначала уменьшим элементы
матрицы, используя то свойство определителя, которое утверж-
дает, что он не меняется при вычитании из одной строки (или
столбца) другой строки (или столбца), умноженной на некото-
рое число. Для этого вычтем из второго столбца первый и из
третьего тоже первый. Получим
. К 3-му столбцу прибавим 2-й: 
.
Так как в 3-м столбце стоят 2 нуля, то вычисления упрощаются,
если разложить определитель по 3-му столбцу.
Получаем: 
. Проверить вычисления можно путем вычисления D на ЭВМ (см.раздел 3).
4.2. Пример выполнения задания 2.11
Пусть требуется решить матричное уравнение
.
Перенесём матрицу 
в правую часть и вычтем из матрицы
. Получим 
. Умножим
полученное равенство слева на 
и справа на 
.
Получим 
. Далее, находим обрат-
ные матрицы 
; 
.
Подставим в выражение для Х:
. Проверим подстанов-
кой матрицы Х в исходное уравнение
. Вычисляем
4.3. Пример выполнения задания 2.12
Пусть требуется решить уравнение 
.
Обозначим элементы неизвестной матрицы 
и выполним
действия. В левой части равенства получим
. А в правой -
. Приравнивая
соответствующие элементы матриц в левой и правой частях, полу-чим систему уравнений
Переносим неизвестные в левую часть и приводим подобные члены:
.
Для решения системы можно обратиться к ЭВМ (см. раздел 3) или решить вручную. Выражаем d через a из 2-го уравнения и b через c из 4-го уравнения d = 1+2×a, b = - 9 - 4×c, и подставляем в 1-е и 3-е уравнения
Сокращаем 1-е уравнение на 2 и приводим подобные члены
Прибавляя ко 2-му уравнению 1-е, умноженное на 3, получаем
. Получили искомую матрицу
.
Проверяем ответ подстановкой в матричное уравнение
.
Выполняя действия, получаем и в левой и в правой части одну
и ту же матрицу
.
4.4. Пример выполнения задания 2.13
Пусть нам дана система
. Так как система однородная, то для
того, чтобы она имела ненулевые решения, необходимо, чтобы её
определитель 
был равен нулю.
Найдём такие значения р, при которых функция D(р) обращается в нуль. Найдём выражение для D(р), раскрывая определитель по пер-вой строке (на этом этапе можно обратиться к ЭВМ, см. раздел 3.3)
= 
.
Получаем квадратное уравнение: 
.
(Для его решения можно обратиться к ЭВМ). Находим его корни
. Далее находим для каждого р соответствующие ре-
шения системы (это можно также проделать на ЭВМ).
1. 
. Получается система
.
Ищем общее решение этой системы (она должна быть неопределённой) методом Гаусса. При этом столбец свободных членов всегда будет нулевым и его можно не писать.
Приводим матрицу системы к стандартному ступенчатому виду
.
Записываем систему, соответствующую последней матрице
Получилось, что x, y – главные неизвестные; z – свободная неизвестная. Возьмём z = 1, тогда 
. Нашли решение
, однако оно пока не удовлетворяет условию 
.
Но так как наша система – однородная, то при умножении реше-ния на какое-либо число получается тоже одно из решений этой систе-мы. Тогда умножим полученное решение на такое число k, чтобы условие было выполнено. Можно проверить подста-новкой, что можно взять 
. Для р = 2 получаем требуемое решение:
.
2. 
. Получается система
.
Ясно, что как и в случае р = 2, третье уравнение будет следствием первых двух и его можно отбросить. Система получается неопределённая и можно взять х = 1. Найдём у и z
(Для решения можно обратиться к ЭВМ). Вычтем из 2-го уравнения 1-е, умноженное на 3
.
Находим второе решение так же, как для р = 2
.
