Интегральный признак Коши

Целесообразно применять, когда общий член ряда порождает функцию, первообразная которой находится без особого труда.

Если - непрерывная, положительная, убывающая в , значения которой при натуральных значениях аргумента совпадают с соответствующими значениями ряда

, то этот ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Исследование знакопостоянных рядов:

- проверить необходимое условие;

- применить признак Даламбера, радикальный признак Коши, интегральный признак Коши или признаки сравнения.

3.3. Знакопеременные ряды:

Теорема (общий достаточный признак):

Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов знакопеременного ряда, то сходится и знакопеременный ряд.

Определение: знакопеременный ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом строго поочередно, называется знакочередующимся.

Теорема (признак Лейбница):

Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда убывая стремятся к нулю, то такой ряд сходится и абсолютная величина его суммы не превосходит абсолютной величины первого члена ряда.

Ряд, отвечающий условиям признака Лейбница, называется лейбницевским. Любой лейбницевский ряд сходится.

Исследование сходимости знакопеременных рядов:

- проверить необходимое условие;

- проверить для ряда условия Лейбница;

- составить ряд из абсолютных величин (если он сходится, то данный ряд сходится абсолютно; если он расходится, то данный ряд сходися условно)

3.4. Степенные ряды:

Определение:

Ряд, все члены которого являются функциями одного и тогоже аргумента называется функциональным.

Его общий вид: .

Определение:

Функциональный ряд вида , где коэффициенты ряда - любые действительные числа, называется степенным, расположенным по степеням .

Исследование сходимости степенных рядов:

-находим радиус сходимости или , записываем интервал сходимости;

- проверяем поведение ряда на концах интервала;

- находим область сходимости.

3.5. Ряд Тейлора:

Ряд, стоящий в правой части равентсва называется рядом Тейлора по функции .

При ряд Тейлора принимает вид:

и называется рядом Маклорена.

3.6. Разложение элементарных функций в ряд по степеням :

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

3.7. Ряды Фурье. Теорема Дирихле.

Определение:

Функция , называется удовлетворяющей условиям Дирихле на , если она на этом отрезке

· непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

· имеет конечное число строгих экстремумов.

Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье):

Если функция отвечает на отрезке условиям Дирихле, то ее ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка, причем во внутренних точках непрерывности функции ряд сходится к самой функции . В каждой внутренней точке разрыва функции ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений этой функции в точке слева и справа, т.е. . В обеих граничных точках ряд сходится к среднему арифметическому предельных значений функции в этих точках, когда стремится к ним изнутри отрезка, т.е. .

Алгоритм разложения периодических функции в ряд Фурье на :

- строим график на и с его помощью проверяем выполнение условий Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- периодически продолжаем грифики функции и суммы на всю числовую ось;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Аналогично, раскладываются в ряд Фурье периодические функции на ; ; .

Алгоритм разложения в ряд Фурье нерериодических функций, заданных на ; по косинусам (по синусам):

- продолжаем функцию четным (нечетным) образом на () и получаем новую функцию ;

- строим график и проверяем условия Дирихле;

- устанавливаем ожидаемую форму ряда Фурье;

- вычисляем коэффициенты по формулам Эйлера-Фурье и составляем формальный ряд ;

- строим на заданном отрезке график суммы ряда;

- определяем точки сходимости ряда к самой функции ;

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

Если - общего положения на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

Если - четная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где ;

, где

Если - нечетная на , то ее можно разложить в ряд Фурье вида:

, где , где

При вычислении интегралов, учитываем, что и

РАЗДЕЛ IV: ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

4.1. Основные понятия:

Определение: соответствие , при котором каждому значению отвечает одно или несколько значений называется функцией комплексной переменной .

Обозначение: .

Функция комплексного переменного может быть одноизначной и многозначной.

Т.к. , то можно представить как .

Здесь , а .

Определение (для однозначных или отдельных вертвей многозначных):

Комплексное число называется пределом функции при , если для такое, что при всех отличных от и удовлетворяющих неравенству справедливо неравенство .

Обозначение: .

Если представлена в виде , то она непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в точке одновременно непрерывны ее действительная часть и мнимая .

Определение:

Функция непрерывная в каждой точке некоторого множества называется непрерывной на этом множестве.

Определение (для однозначных или отдельных вертвей многозначных): ;

Дифференциал фкп находят по формуле: .

Если дифференцируема в точке , то она в этой точке и непрерывна, обратное не справедливо.

Функция называется дифференцируемой на некотором множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Теорема (необходимое и достаточное условия дифференцируемости фкп):

Для того чтобы однозначная функция была дифференцируемой в точеке необходимо и достататочно, чтобы в т. :

- и были дифференцируемы;

- выполнялись равенства (условия Даламбера - Эйлера или Римана - Коши).

Определение:

Функция называется аналитической в точке, если она однозначна и дифференцируема в этой точке и ее окрестности.

Определение:

Функция называется аналитической в области, если она аналитическая в каждой точке этой области.

Примечание: функции, содержащие не являются аналитическими.

4.2. Основные элементарные функции:

1. Степенная функция

а) если - натуральное, то и ;

б) если , где ,то ,

в) если , где и - несократимая, то

, .

2. Показательная функция

и , ( и )

Специфическое свойство: , при

3. Логарифмическая функция

Формула вычисления - , где

Если , то имеем главную ветвь - , т.е. , где

4. Тригонометрические функции

; ; ; .

Специфическое свойство: и могут быть большими единицы.

5. Гиперболические функции

; ; ;

Формулы связи: и .

Функции и - периодические с периодом , а и - .

Характерно, что и .

6. Обобщенные степенная и показательные функции (не относятся к числу основных элементарных, но являются элементарными)

- обобщенная степенная функция , где любое комплексное число, функция определяется равенством ;

- обобщенная показательная функция , где а – любое комплексное число , функция определяется равенством

4.3. Определение и свойства контурного интеграла по кривой:

Пусть в плоскости Гаусса задана гладкая направленная кривая с начальной точкой и конечной и пусть в каждой точке этой кривой определена однозначная непрерывная функция .

Определение: Конечный предел интегральной суммы функции на кривой при условии, что и называется контурным интегралом от этой функции по кривой , где