Пример 1- Построение линии пересечения плоских фигур

Две плоскости пересекаются по прямой линии, для построения которой необходимо определить две точки, одновременно принадлежащие обеим плоскостям (рисунок 3.1). На рисунке 3.1 построена линия пересечения МN четырехугольника ABCD c треугольником EFK и определена видимость их частей.

Основной метод решения задачи заключается в том, что определяют точки пересечения двух сторон одной фигуры с плоскостью второй фигуры и соединяют их между собой. Задача сводится к решению задачи на построение точки пересечения прямой линии с плоскостью.

Рассматриваем сторону ЕК треугольника EFK как линию (е ' к ', ек) и находим точку ее встречи М (m ', m) с параллелограммом ABCD.

Рисунок 3.1 – Пересечение плоских фигур

Алгоритм этой задачи заключается в следующем:

− заключаем сторону ЕК во вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость S (ЕК Î S, S ^ H, S_Н Î ек);

− плоскость S пересекает плоскость четырехугольника ABCD по прямой I–II (1'−2', 1–2). Отмечаем горизонтальные проекции 1, 2 точек пересечения сторон ЕК и FК с плоскостью S, затем по линии связи находим их фронтальные проекции – точки 1' и 2' [ S ∩ ABCD ð I–II (1'−2', 1–2)];

− плоскость S также пересекает плоскость треугольника EFK по линии ЕК (е ' к ', ек). На горизонтальной плоскости проекции линия ек совпадает с горизонтальным следом S_Н, а на фронтальной плоскости проекции пересечение фронтальных проекций линий 1'−2' и е ' к ' дают нам фронтальную проекцию m ', а по ней находим горизонтальную проекцию m искомой точки М [ S ∩ ABCD ð ЕК (е ' к ', ек), 1'−2' ∩ е ' к 'ð m ' → m ].

Определяем вторую общую точку N (n ' n), принадлежащую нашим плоским фигурам, а следовательно, и их линии пересечения. Для этого определяем точку встречи стороны треугольника FK c плоскостью параллелограмма ABCD. Алгоритм решения такой же:

− заключаем сторону FK во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость Р (Р ^ Н, Р_Н Î fk);

− определяем линию пересечения III–IV (3'–4', 3–4) плоскости Р с плоскостью четырехугольника ABCD;

− на пересечении фронтальных проекций 3'–4' и e ' f ' отмечаем фронтальную проекцию n ', а по ней находим горизонтальную проекцию n искомой точки N.

Соединив одноименные проекции точек М (m ' m) и N (n ' n) между собой получаем искомую линию MN (m ' n ', mn) пересечения заданных плоских фигур.

Задачу можно было решить, рассматривая какие-либо две стороны четырехугольника ABCD как линии и находить точки встречи их с плоскостью треугольника EFК, либо рассматривать как линии одну сторону треугольника и одну сторону параллелограмма.

Вспомогательные плоскости можно проводить как горизонтально-проецирующие, так и фронтально-проецирующие. Результат, конечно от этого не изменится.

Относительная видимость плоскостей определяется видимостью принадлежащих им прямых. Линия пересечения MN является границей видимости.

При определении видимости на эпюре, необходимо помнить, что при проецировании объект находится между наблюдателем и плоскостью проекций, а также что горизонтальная проекция – это вид сверху, а фронтальная – вид спереди.

Для определения видимости применяется метод конкурирующих точек. Конкурирующими точками называется пара точек, лежащих на двух скрещивающихся прямых и на одном перпендикуляре (проецирующем луче) к плоскости проекций.

Видимость на горизонтальной плоскости проекции Н. На плоскость Н мы смотрим по стрелке S_{H ,} и выбираем горизонтальные проекции конкурирующих точек 5 и 1, лежащих на скрещивающих прямых ЕК, AD и одном перпендикуляре к плоскости Н. Горизонтальные проекции точек совпадают 5 ≡ 1, но фронтальные проекции 5' и 1' находятся на разном расстоянии от плоскости Н, причем Z ₅ > Z ₁, т.е. в пространстве точка 5 расположена выше, чем точка 1, следовательно, сверху мы видим точку 5, а точка 1 будет ей закрыта. Точка 5 на стороне ЕК, значит, на горизонтальной проекции будет видима именно эта сторона и часть фигуры EFK, принадлежащая к этой стороне. В точках m и n линии пересечения видимость меняется, и часть 1– d –3– m – n четырехугольника ABCD на плоскости Н будет невидима.

Видимость на фронтальной плоскости проекции V. На плоскость V смотрим по стрелке S_V, и выбираем фронтальные проекции точек 6 и 7, лежащие на скрещивающихся прямых FK и АВ. Они расположены на одном перпендикуляре к плоскости V. Фронтальные проекции этих точек совпадают 6' ≡ 7', но расположение горизонтальных проекций точек 6 и 7 позволяет установить, какая из этих точек дальше отстоит от плоскости V, т.е. находится ближе к наблюдателю. В рассматриваемом примере Y ₆ > Y ₇, следовательно, на фронтальной проекции видны точка 6 и сторона FK, на которой эта точка лежит. Часть треугольника EFK, прилежащая к стороне FK, расположена выше и закрывает собой часть фигуры четырехугольника ABCD. В точках m ' и n ' видимость меняется на противоположную.