Методические указания по выполнению эпюра № 1

Задания на эпюр № 1 приведены в таблице № 1. Вариант задания студенты получают у преподавателя. Пример выполнения задания на рисунке 3.4. Эпюр № 1 «Пересечение плоских фигур» выполняется в карандаше на листе формата А3 (297 × 420) мм. Задача решается в двух ортогональных проекциях – горизонтальной и фронтальной. Исходное задание, взятое из таблицы 3.1, увеличивается в 3−4 раза и располагается так, чтобы рационально использовать поле чертежа.

Обводка эпюра карандашом выполняется с соблюдением типов линий согласно ГОСТ 2.303–68 «Линии чертежа».

Проекции видимого контура геометрических фигур обводятся сплошными основными линиями толщиной S = 0,8…1мм.

Проекции невидимого контура геометрических фигур и другие невидимые линии – штриховой линией толщиной S /2.

Оси проекций, линии проекционной связи, вспомогательные построения – сплошной тонкой линией толщиной S /3.

Проекции линии пересечения рекомендуется обвести цветным карандашом. Видимые части геометрических фигур можно покрыть бледными тонами цветных карандашей.

Буквенные обозначения проекции точек осей, следов плоскостей и т.д. наносить в соответствии с принятыми обозначениями и оформлять их по ГОСТ 2.304–81 «Шрифт чертежный». Для формата А3 следует применить шрифт № 5.

При построении плоских фигур необходимо выполнять следующие условия:

− проекции соответствующих точек плоской фигуры должны быть расположены на одних перпендикулярах к соответствующим осям проекций.

− все точки любого многоугольника должны быть расположены в одной плоскости. Поэтому проекции точек пересечения соответствующих диагоналей данного многоугольника должны находиться на одной линии связи (смотри рисунок 3.4).

Некоторые фигуры в заданиях на эпюр № 1 даны неполным контуром. Достройка недостающих проекций точек основывается на решении позиционной задачи на принадлежность точки плоскости (рисунок 3.3). Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей этой плоскости.

Горизонтальная проекция точки Е построена с помощью линии I–II (1–2, 1'–2'), а горизонтальные проекции точек D и F построены с помощью линии III-IV (3–4, 3'–4'). Можно применить и любые другие линии, принадлежащие плоскости треугольника и проходящие через нужные точки.

Рисунок 3.3 – Пример построения горизонтальной проекции выреза треугольника

Рисунок 3.4 – Пример оформления эпюра № 1

Таблица 3. – Задания для выполнения эпюра № 1

Вариант № 1	Вариант № 2
Вариант № 3	Вариант № 4
Вариант № 5	Вариант № 6
Продолжение таблицы 3 Вариант № 7	Вариант № 8
Вариант № 9	Вариант № 10
Вариант № 11	Вариант № 12
Продолжение таблицы 3 Вариант № 13	Вариант № 14
Вариант № 15	Вариант № 16
Вариант № 17	Вариант № 18
Продолжение таблицы 3 Вариант № 19	Вариант № 20
Вариант № 21	Вариант № 22
Вариант № 23	Вариант № 24
Продолжение таблицы 3 Вариант № 25	Вариант № 26
Вариант № 27

4 Эпюр № 2 − Пересечение поверхностей геометрических тел плоскостями и построение разверток

Цель задания: Закрепить знания, полученные при изучении разделов курса начертательной геометрии: линии общего и частного положения; плоскость; методы преобразования эпюра; пересечение поверхностей геометрических тел с плоскостями и построение разверток этих тел с нанесением линии пересечения.

Последовательность этапов решения эпюра № 2:

а) постановка геометрического тела на указанную опорную плоскость;

б) проведение секущей плоскости через заданную точку на высоте геометрического тела и построение натуральной величины фигуры сечения;

в) построение развертки поверхностей данного геометрического тела с нанесением линии пересечения;

г) построение полной развертки отсеченной части тела;

д) построение аксонометрического изображения отсеченной части тела.

В заданиях на эпюр № 2 предусматривается постановка геометрического тела как на плоскости проекций Н, V, W так и на плоскости общего и частного положения.

Рассмотрим это на примерах.

4.1 Пример 1. Степень сложности − Г

Поставить правильную трехгранную прямую призму на плоскость Н и пересечь её фронтально-проецирующей плоскостью Р, проходящей через середину высоты призмы h ₁/ h = 1/2.

Построить развертку призмы и нанести на неё линию пересечения. Построить полную развертку нижней отсеченной части призмы Построение аксонометрического изображения отсеченной части тела.

Первый этап решения − поставить призму на опорную плоскость.

В данном случае опорной плоскостью является плоскость H. На рисунке 4.1 показаны три проекции призмы АВС, поставленной на плоскость Н. Построение этих проекций начинаем с горизонтальной проекции основания призмы – правильного треугольника аbc. Фронтальная проекция основания расположится на оси ОХ (, , ).

Ребра прямой призмы перпендикулярны к основанию. Профильная проекция призмы построена по горизонтальной и фронтальной проекциям.

Второй этап решения − пересечь призму горизонтально-проецирующей плоскостью, проведенной через середину высоты призмы ( = ) и построить натуральную величину фигуры сечения, где h ₁ – часть высоты от основания (1 часть); h – высота пирамиды (2 части).

Прежде всего, находим середину высоты призмы. На рисунке 4.1 это построение сделано на фронтальной проекции способом деления отрезка в данном отношении (точка к ' − ). Через точку к ' проведем фронтальный след Р_V секущей плоскости Р.

Находим точки пересечения боковых ребер призмы с плоскостью Р на фронтальной проекции, исходя из того, что фронтальные проекции всех точек фронтально-проецирующей плоскости принадлежат фронтальному следу (собирательное свойство фронтально-проецирующей плоскости). Получаем точки 1', 2', 3' (рисунок 4.1).

Так как секущая плоскость не параллельна ни одной из плоскости проекции, то ни одна из трех проекций фигуры сечения не проецируется в натуральную величину без искажения. Для определения натуральной величины фигуры сечения совмещаем плоскость Р с плоскостью Н, поворачивая фронтальный след плоскости вокруг горизонтального следа. Получаем истинную величину фигуры сечения (I–II–III).

Рисунок 4.1 – Пересечение прямой треугольной призмы плоскостью Р

Третий этап решения − построить развертку поверхностей призмы и нанести на неё линию пересечения (рисунок 4.2).

Разверткой называется поверхность геометрического тела, раскатанная на плоскость без разрывов, вмятин и трещин. На рисунке 4.2 показана развертка призмы. Её боковая поверхность развернута в прямоугольник. Для этого проведена горизонтальная линия и на ней, пользуясь рисунком 4.1 последовательно отложены стороны основания АВ = аb, BC = bc, CA = ca.

Для построения на развертке линии пересечения необходимо определить действительное положение точек пересечения боковых ребер призмы с плоскостью Р от нижнего основания призмы. Эти отрезки берем из рисунка 4.1, где на фронтальной проекции ребра призмы показаны без искажения (A −I = = − 1'; B– II = − 2'; C– III = − 3' ). Наносим точки I, II, III на развертку и последовательно соединяем их. Далее строим полную развертку отсеченной нижней части призмы (рисунок 4.3)

Контуры развертки проводим сплошной основной линией. Линии перегиба – штрихпунктирной с двумя точками тонкой линией.

Рисунок 4.2 – Развертка треугольной призмы

4.2 Пример 2. Степень сложности − Б

Поставить правильную прямую пятиугольную пирамиду SABCDE на плоскость общего положения и пересечь её фронтально-проецирующей плоскостью, проходящей через точку, взятую в отношении 1/3 = h ₁/ h.

Построить развертку не усеченной пирамиды с нанесением линии пересечения. Построить полную развертку отсеченной части пирамиды.

Рисунок 4.3 – Развертка нижней части призмы

Первый этап решения − преобразовать опорную плоскость Р общего положения во фронтально-проецирующую (рисунок 4.4).

Рисунок 4.4 – Преобразование плоскости общего положения в горизонтально-проецирующую

Второй этап решения − поставить пирамиду SABCDE на построенный след Р _V1 (рисунок 4.5). Рекомендуемые размеры геометрических тел: диаметр основания брать 80 – 100 мм, высоту Н брать 100 – 120 мм. (Таблица 4.1).

Рисунок 4.5 – Постановка пирамиды на след Р _V1

− строим горизонтальную (sabcde) и фронтальную проекции (s'a'b'c'd'e') пирамиды;

− построение горизонтальной проекции видно по построению в системе плоскостей проекций ;

− построение фронтальных проекций точек находят, применяя способ перемены плоскостей проекций. От оси Х откладывают отрезки равные удалению этих точек до предыдущей оси X ₁−(а_ха' = а_{х 1}; b_xb ' = b_{x 1});

е_хе ' = е_{х 1}; о_хо ' = о_{х 1}; с_хс ' = с _х1; d_xd ' = d _x1; S_xS ' = S_{x 1} ), на рисунке 4.6 показано построение точки а ^' − а_ха ' = а_х1;

− строим положение точки К, через которую проходит секущая плоскость (рисунок 4.6):

− применяем теорему Фалеса (деление отрезка на n равных частей).

В нашем примере = ,

где h ₁ – часть высоты от основания (1 часть);

h – высота пирамиды (3 части).

Из вершины под острым углом к высоте пирамиды проведем произвольную прямую. От вершины на этой прямой отложим 3 произвольных, но равных между собой отрезков. Конец третьего отрезка соединим с основанием высоты и параллельно ему из конца второго отрезка проведем линию до пересечения с высотой пирамиды. Точка пересечения будет находиться на расстоянии высоты от основания пирамиды. Обозначим ее буквой к ₁^'. Находим горизонтальную и фронтальную проекции точки к и к ';

− через построенную фронтальную проекцию точки к ' проводим фронтальный след секущей плоскости R_V параллельно заданию, отмечаем точки пересечения построенного фронтального следа R_V c ребрами пирамиды 1', 2', 3', 4', 5^'. Строим горизонтальные проекции этих точек 1, 2, 3, 4, 5 (рисунок 4.6);

− строим натуральную величину боковых ребер и положение этих точек на построенных натуральных размерах этих ребер. Поступаем следующим образом:

− поворачиваем, например, горизонтальную проекцию ребра Sb вокруг точки S до параллельности оси Х, находим положение точки B. Ребро S ' В – натуральная величина;

− раствором циркуля S'В из точки S' проводим дугу и сносим остальные проекции точек основания на построенную дугу аналогичным образом (А, С, D, E), находим положение точек, принадлежащих фигуре сечения , , , , на соответствующих ребрах;

− методом совмещения поворачиваем фронтальный след и лежащие на нем точки 1', 2', 3', 4', 5', вокруг точки схода следов R_X до совмещения с горизонтальной плоскостью Н, горизонтальные проекции точек 1, 2, 3, 4, 5 перемещаются по прямым параллельно оси Х. Находим натуральную величину фигуры сечения I, II, III, IV, V.

Третий этап решения − построение развертки поверхности не усеченной пирамиды:

− из выбранной точки S на свободном поле формата проводим дугу радиусом равным натуральной величине бокового ребра – НВ S'В;

− отмечаем положение точки А и откладываем отрезки равные натуральной величине ребер основания АВ, ВС, CD, DE, EA. Строим боковые ребра SА, SB, SC, SD, SE, на них отмечаем точки верхнего основания I, II, III, IV, V (рисунок 4.7), соединяем их, таким образом, получаем линию сечения.

Достраиваем основание пирамиды методом триангуляции.

Четвертый этап решения − построение полной развертки усеченной части пирамиды – повторяем чертеж развертки пирамиды:

− достраиваем верхнее и нижнее основания усеченной пирамиды методом триангуляции (рисунок 4.8), достраиваем верхнее основание построенной натуральной величины пятиугольника I, II, III, IV, V (рисунок 4.8).

Рисунок 4.6 – Пятигранная пирамида на плоскости общего положения Р, пересечена фронтально-проецирующей плоскостью R

Рисунок 4.7 – Развертка пятиугольной пирамиды

Рисунок 4.8 – Развертка усеченной части пятиугольной пирамиды

Пятый этап решения − строим аксонометрическое изображение отсеченной части пирамиды по общим правилам выполнения аксонометрических изображений (рисунок 4.9).

Рисунок 4.9 – Аксонометрическое изображение усеченной пятиугольной пирамиды

4.3 Пример 3 - Степень сложности − А

Поставить прямой круговой конус на плоскость общего положения Р и пересечь его плоскостью общего положения Q, проведенной через точку К, отстоящую на расстоянии 2/5 = h ₁/ h высоты от основания (рисунок 4.10).

Построить развертку не усеченного конуса с нанесением линии пересечения и полную развертку отсеченной части. Построение аксонометрического изображения отсеченной части тела.

Первый этап решения − Постановка конуса на опорную плоскость Р. Построение эпюра в той же последовательности, что и пример 2. Основание конуса делим на 8 равных частей. Образующие конуса можно представлять как боковые ребра пирамиды.

Второй этап решения − Проводим секущую плоскость Q. Для того чтобы плоскость общего положения Q прошла через заданную точку К, поступаем следующим образом:

− через фронтальную проекцию точки К ' проводим фронтальную проекцию горизонтали h ' // х; горизонтальная проекция горизонтали h параллельна горизонтальному следу Q_Н секущей плоскости Qн – h // Qн;

− находим фронтальный след проведенной горизонтали точка V≡v';

− через построенный фронтальный след V ≡ v ' проводим фронтальный след секущей плоскости Q_v параллельно фронтальному следу заданной секущей плоскости, горизонтальный след проведем через точку К параллельно горизонтальному следу заданной секущей плоскости Qн.

− преобразуем секущую плоскость общего положения Q в горизонтально-проецирующую:

− произвольно, но перпендикулярно фронтальному следу Qv секущей плоскости Q, проходящей через точку К ', проводим Х ₂;

− на горизонтальном следе секущей плоскости Qн берем произвольную точку n. Находим фронтальную проекцию n _х ≡ n ';

− находим преобразованное положение точки n₂, откладывая отрезок n_x2n = nn _x от оси Х ₂;

− проводим горизонтальный след Qн ₂ через построенную точку n ₂(Qx₂n ₂). Он должен пройти через построенную точку К ₂;

− находим горизонтальные проекции точек основания в плоскости Н ₂, исходя из правила, что проекции точек во вновь построенной плоскости проекции лежат на расстоянии от вновь выбранной оси Х ₂ равном удалении этих точек до предыдущей оси Х ₁ – У _Е. Строим положение вершины конуса точки S ₂(Sx ₂ S ₂ = S ₁ S _x).

Рисунок 4.10 − Конус расположен на опорной плоскости общего положения Р, секущая плоскость общего положения Q

Третий этап решения − построение развертки не усеченного конуса и нанесение линии сечения.

На рисунке 4.11 показана развертка поверхности конуса. Боковая поверхность развертывается в круговой сектор. Угол сектора определяется по формуле α = 360º, где R – радиус окружности основания, а L – длина образующей конуса. Из вершины S проведен луч и на нем отложен отрезок SD, равный длине образующей. Угол сектора определен по указанной выше формуле и отложен от образующей SD и радиусом SD – дуга DD. Дуга DD разбита на 8 равных частей. Через полученные точки D,E,F и т. д. проведены образующие конуса и в одной из точек (С) пристроено основание конуса. Прежде чем нанести на развертку линию сечения, на рисунке 4.9 были найдены расстояния от вершины конуса до точек, лежащих на фигуре сечения S ₂1₀, S ₂2₀, S ₂3₀ и т. д. Откладываем на развертке от точки S отрезки S I = S ₂1₀, S II = S ₂2₀, S III = S ₂III = S ₂3₀ и т. д. Полученные точки соединяем плавной линией.

Рисунок 4.11 – Полная развертка конуса

Рисунок 4.12 – Развертка нижней усеченной части конуса

Четвертый этап решения − построение полной развертки усеченной части конуса. Повторяем рисунок 4.12. Пристраиваем усеченное основание и натуральную величину фигуры сечения по рисунку 4.10.

Пятый этап решения задачи – Построение аксонометрического изображения отсеченной части тела. Далее строим аксонометрическое изображение отсеченной части конуса по общим правилам выполнения аксонометрических изображений (рисунок 4.13).

Рисунок 4.13 – Аксонометрическое изображение усеченного конуса