Линия пересечения поверхностей

Линией пересечения поверхностей является линия, одновременно принадлежащая обеим пересекающимся поверхностям. Для построения точек линии пересечения используем метод вспомогательных секущих плоскостей.

Пусть даны две пересекающиеся поверхности и (рис. 40).

1. Проводим вспомогательную секущую плоскость S так, чтобы она пересекала обе данные поверхности.

2. Находим линии n и m пересечения плоскости S с поверхностями и

3. Определяем точки А и В взаимного пересечения линий n и m, лежащих в плоскости S.

Рис. 40. Пересечение поверхностей

Точки А и В одновременно принадлежат поверхности и и, следовательно, являются точками искомой линии пересечения двух поверхностей. Проведя ряд вспомогательных секущих плоскостей, получим ряд точек, аналогичных точкам А и В. Линия, последовательно соединяющая эти точки, будет искомой линией пересечения двух поверхностей. Методом секущих плоскостей решаются задачи 4 и 6.

Задача 4

Дано: многогранник и поверхность вращения. С помощью вспомогательно-секущих плоскостей построить линию пересечения многогранной и поверхности вращения, выделив ее видимые и невидимые участки (пример на рис. 41, 42).

Указания к задаче 4

По табл. 4 определяется номер рисунка (см. приложение к табл. 4), на котором представлены две поверхности: одна – вращения, другая – многогранник (см. табл. 4). Количество граней n многогранника также указано в таблице, дано смещение Х от центра одной из поверхностей. Длину или высоту второй поверхности студент выбирает самостоятельно. Задачу решают в трех проекциях.

Намечают расположение вспомогательных секущих плоскостей частного положения (уровня) и с их помощью определяют характерные и промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Плоскости следует выбирать так, чтобы линии их пересечения с поверхностями проецировались в простейшие фигуры (окружности или прямые).

Таблица 4

№ вар.	Рисунок	n граней	х		№ вар.	Рисунок	n граней	х
			-
			-					-
			-
			-					-
								-
			-
Продолжение таблицы 4
			-					-
			-
			-
			-					-
			-					-
			-					-
			-
			-					-
								-
			-					-
								-
			-
			-

На примере решения задачи 4 (см. рис. 41) представлены сфера и проецирующая призма АВСD, следовательно, на фронтальной проекции линия пересечения уже определена. Вспомогательные плоскости в данном случае горизонтальные, они пересекают сферу по окружностям, а призму – по прямоугольникам. Точками пересечения поверхностей являются точки пересечения контуров фигур сечения поверхностей, лежащих в одной и той же вспомогательно-секущей плоскости. Каждая секущая плоскость может определить от одной до четырех точек линии пересечения в зависимости от характера пересекающихся поверхностей, их расположения относительно друг друга и положения секущей плоскости. Для гранной поверхности необходимо определить точки пересечения, принадлежащие ребрам, а для поверхности вращения – очерковым образующим.

На чертеже сфера представлена своим очерком на фронтальной и профильной проекции окружности главного меридиана, а на горизонтальной проекции – экватором.

Рис. 41. Сфера и призма

Точки 1 и 7 принадлежат главному меридиану на плоскости а точки 4 и 6 – на плоскости Точки 2 и 5 лежат на экваторе (2₁ и 5₁). Все остальные точки лежат на параллелях. По грани призмы ВС проводим первую горизонтальную плоскость – она пересекает сферу по окружности а призму – по грани ВС. На горизонтальной проекции определяют точки В ₁ и С ₁. Для нахождения остальных точек поступают так же, проводя плоскости до

Задача 5

Построить развертку многогранной поверхности и нанести на ней линию пересечения (заданная поверхность задачи 4).

Указания к задаче 5

Определяют натуральную величину одного из ребер многогранника и строят одну грань, затем последовательно к ней пристраивают остальные грани. Линия пересечения поверхностей наносится на развертку с помощью характерных точек.

На рис. 41 представлена развертка прямой призмы, у которой натуральная величина ребра – горизонтальные проекции, натуральная величина основания – фронтальная проекция.

На рис. 42 представлено пересечение трехгранной пирамиды и цилиндра. При решении задачи используют горизонтальные плоскости, которые пересекают пирамиду по треугольникам, подобным основанию, а цилиндр – по прямоугольникам. На рис. 42 натуральная величина ребра у трехгранной пирамиды – это профильная прямая S ₃ B ₃. Горизонтальная проекция основания – это натуральная величина. По чертежу на ребре откладывается действительная величина проводится линия, параллельная основанию. На горизонтальной проекции пирамиды проводим дополнительную прямую через точку 3₁ до встречи с основанием и затем эту величину переносим на Точка пересечения двух прямых определяет положение точки на развертке.

Рис. 42. Пирамида и цилиндр

Задача 6

Даны две пересекающиеся поверхности вращения. Способом вспомогательно-секущих плоскостей построить линию их пересечения, выделив ее видимые и невидимые участки (пример решения задачи на рис. 43).

Указания к задаче 6

По табл. 5 определяется номер рисунка (см. приложение к табл. 5), на котором представлены две поверхности вращения и заданы координаты центра расположения осей одной из поверхностей. Чертежи выполняются по размерам, представленным в таблице, где d ₁ и d ₂ – диаметры пересекающихся поверхностей, h – высота одной из поверхностей (если высота или длина второй поверхности не указаны, студент принимает ее самостоятельно), X, Y, Z – смещения от центра одной из поверхностей.

Таблица 5

№ вар.	№ рис.	d1	d2	h	x	y	z		№ вар.	№ рис.	d1	d2	h	x	y	z
					-15	-							-			-
				-		-								-30	-
				-			-						-	-10	-	-
						-								-30		-
			-	-		-								-15	-
						-	-						-		-
			-	-	-	-								-	-	-
				-	-	-							-	-	-
						-								-	-
				-		-	-						-	-10	-
					-20		-							-20	-	-
Продолжение таблицы 5
				-		-								-		-
					-	-	-						-	-	-
				-	-10	-	-						-		-	-
				-	-10	-								-20		-
				-	-		-						-	-		-
					-		-								-
						-	-						-		-
				-	-10	-							-	-20		-
					-25		-							-25	-	-
						-	-							-		-
							-									-
				-		-									-
			-	-		-							-	-	-
					-15	-							-	-		-

На рис. 43 дан пример решения задачи 6 – пересечение поверхностей вращения (в нашем случае усеченный конус и цилиндр). Цилиндр на фронтальной плоскости проекций проецируется действительной величиной основания. Наиболее рациональный метод решения этой задачи – метод секущих плоскостей. На фронтальной проекции цилиндра выбираем характерные точки (точки, лежащие на очерковых образующих): А, С, Е принадлежат очерковым образующим конуса, а точки N, B, D и M – образующим цилиндра. Чтобы получить более точно линию пересечения поверхностей, выбираем случайные точки 1, 2, 3 и 4.

Для нахождения горизонтальных проекций этих точек применяют горизонтальные плоскости Р. Усеченный конус пересекается этими плоскостями по окружности радиусом, равным расстоянию от оси вращения до очерковой образующей, а цилиндр – по прямоугольникам. Соединив последовательно эти точки, получим плавную линию пересечения.

Рис. 43. Цилиндр и усеченный конус