Теория напряжений

Поверхностные и объемные силы. Напряжения.

Силы.

Сила в механике определяется как результат и мера механического взаимодействия двух тел. Исследуя движение или равновесие одного из этих тел, действие второго тела заменяют силой, которая является вектором, поскольку характеризуется некоторой величиной и направлением.

В механике деформируемого тела рассматриваются силы двух типов – объемные и поверхностные.

Объемные силы. Силы, распределенные по объему среды, действующие на каждую материальную точку объема, называются объемными. Они характеризуются своей интенсивностью р _v – вектором, длина которого определяет величину силы, приходящуюся на единицу объема тела. Интенсивность объемной силы может быть постоянной по объему тела (р _v= const) или меняться от точки к точке (р _v= р _v(r) ) или р _v = р _v(x,y,z)), где r - радиус-вектор точки, а x,y,z- ее декартовы(или какие-либо другие) координаты.

Пусть на тело действует объемная сила с интенсивностью р _v. Выделим в теле элементарный объем dv. Объемная сила, которая на него действует, определится вектором р _v*dv. Равнодействующая объемных сил P v определится как (векторная) сумма объемных сил, действующих на все элементарные объемы:

P v = (1)

интеграл берется по всему объему тела.

Типичной объемной силой является сила тяжести - сила гравитационного взаимодействия рассматриваемого тела с земным шаром. Интенсивность силы тяжести пропорциональна плотности материала:

р _v= r * g,

где r - плотность материала, g -вектор ускорения свободного падения.

К объемным силам относятся силы электростатического, магнитного, электромагнитного взаимодействия и фиктивные силы инерции. Последние обладают всеми свойствами сил, кроме одного - они не являются мерой взаимодействия двух тел, нет второго тела, на которое обязана действовать сила равная по величине силе инерции и противоположно ей направленная.

Поверхностные силы. Силы, распределенные по поверхности, играют в механике сплошной среды особую роль, с которой нам нужно детально разобраться. Дело в том, что такие силы возникают не только на границе двух взаимодействующих тел, но и на любой реальной или мыслимой плоскости или поверхности, по которой рассматриваемое тело можно разделить на взаимодействующие части. Силы, возникающие между частями одного тела, принято называть внутренними. Деформации среды связаны с этими силами некоторыми физическими соотношениями, зависящими от состава и состояния вещества, составляющего сплошную среду. Разрушение вещества наступает тогда, когда силы сцепления между ее частицами оказываются недостаточными для того, чтобы сопротивляться действию внутренних сил. Внутренние силы - это поверхностные силы.

Напряжения. Интенсивность поверхностной силы, то есть величина силы, приходящаяся на единицу площади поверхности, называется напряжением (механическим напряжением).

В системе СИ напряжения измеряют в паскалях:

1Па = 1 н/м² = 1 кг/м*сек². Часто используют кратные единицы. В технических приложениях популярны мегапаскали 1МПа = 10⁶ Па, поскольку напряжения, возникающие в конструкциях, чаще всего составляют десятки или сотни мегапаскалей; физики предпочитают гигапаскали 1ГПа = 10⁹ Па, так как в них удобно выражать модули упругости материалов.

Рис.1.1. Напряжения в заданном сечении А.

а – одна из поверхностей, проходящих через точку М, б – напряжение представлено проекциями на координатные оси, в – то же напряжение представлено нормальной и касательной составляющими.

На рис.1.1-а изображено тело, подверженное действию некоторой системы нагрузок (на рисунке не показанной). Через точку М, принадлежащую телу проведена некоторая поверхность А (или плоскость), разделяющая тело на части I и II. Напряжение, действующее в точке М на поверхности А на часть I со стороны части II, изображено на рис.1.1-b вектором S_n. Если dA - элемент поверхности А, содержащий точку М, то на него действует элементарная сила d F_n = S_n *dA.

Пусть x,y,z - оси (взаимно перпендикулярные) ортогональной системы координат, i,j,k - их единичные векторы (орты). Sx, Sy, Sz - проекции вектора напряжений S на эти оси. Тогда

S = Sx* i +Sy* j +Sz* k, (2)

dFx = Sx*dA, dFy = Sy*dA, dFz = Sz*dA - проекции элементарной силы d F.

Нормальные и касательные напряжения. Пусть n - внешняя нормаль к площадке dA, то есть линия, проведенная из точки М перпендикулярно к поверхности А наружу от рассматриваемой части тела I, n - ее единичный вектор. Поскольку n определяет направление площадки dA в пространстве, напряжение S, действующее в точке М на площадке dA будем в дальнейшем обозначать S_n. Нормальное напряжение s _n - это проекция вектора напряжений S_n на нормаль n, касательное напряжение t _n - проекция вектора на плоскость, касательную к поверхности А в точке М, следовательно перпендикулярную к нормали n (см. рис.1.1-с). Вектор S_n (или S) может быть представлен векторной суммой нормального и касательного напряжений:

S = S_n = sn + tn (3)

Представление напряжений в виде такой суммы удобно потому, что нормальные и касательные напряжения оказывают на материал среды разное действие. В частности, в твердом теле нормальные напряжения могут привести к отрыву одной части тела от другой, если они окажутся больше сил сцепления; а касательные напряжения в аналогичном случае приводят к разрушению срезом; в покоящейся жидкости касательные напряжения не возникают, они могут появиться только в движущейся вязкой жидкости.

Сосредоточенные силы. Принцип Сен-Венана.

Одним из основополагающих понятий механики является сила (сосредоточенная сила), характеризуемая величиной и направлением вдоль линии ее действия. Сосредоточенные силы и пары сил могут существовать как самостоятельные объекты процессов механического взаимодействия тел, так и как равнодействующие распределенных нагрузок или групп сосредоточенных сил.

Существует теорема о статически эквивалентных нагрузках, утверждающая, что добавление самоуравновешенной системы сил не меняет равновесия или движения абсолютно твердого тела. В соответствии с этой теоремой систему сил или распределенные силы, действующие на абсолютно твердое тело, можно заменять равнодействующими, силу можно переносить вдоль ее линии действия, пару сил можно переносить в ее плоскости.

В механике деформируемых тел сосредоточенные силы как самостоятельные объекты существовать не могут, поскольку они вызывали бы бесконечные напряжения и разрушение материала в окрестности точки приложения. Заменять распределенные нагрузки равнодействующими тоже нет оснований, поскольку теорема о статически эквивалентных нагрузках несправедлива вместе со всеми своими следствиями.

Математическая теория упругости без сосредоточенных сил прекрасно обходится, ее уравнения содержат только нагрузки, распределеные по поверхностям или по объему. Но без сосредоточенных сил очень существенно снижаются возможности использования теории для решения прикладных задач потому, что в инженерных приложениях, как правило, бывают известны интегральные силы, действующие на конструкцию, и не известны законы распределения их по объему тела или ограничивающим его поверхностям.

Частичной, но во многих случаях очень эффективной заменой теоремы о статически эквивалентных нагрузках в механике деформируемых сред является принцип Сен-Венана:

Если к деформируемому твердому телу в некоторой локальной области приложена система сил, статически эквивалентная нулю, то вызванные ей напряжения и деформации быстро затухают по мере удаления от границ этой области.

В соответствии с принципом Сен-Венана добавление локальной самоуравновешенной системы сил меняет напряженно-деформированное состояние тела (и может быть очень существенно) вблизи той области тела, где система сил самоуравновешена, и не оказывает значительного влияния на остальные части тела.