Преобразование компонентов напряжений при повороте осей координат

Некоторую декартову систему координат x,y,z будем называть исходной. Введем другую, тоже декартову систему координат x₁,y₁,z₁, повернутую относительно исходной заданным образом, которую будем называть новой. Положение новых осей относительно исходных зададим матрицей направляющих косинусов (L):

(L) = (7)

Первая строка этой матрицы содержит направляющие косинусы l₁, m₁, n₁ новой оси x₁ относительно старых осей x,y,z. Вторая и третья строки содержат аналогичную информацию об осях y₁ и z₁.

Пусть вектор А задан своим проекциями на оси исходной системы координат: (A)= (A_x,A_y,A_z)^T. Проецируя A_x,A_y,A_z на оси новой системы, получим новые проекции:

А_x1 = A_x*l₁ + A_y*m₁ +A_z*n₁

А_y1 = A_x*l₂ + A_y*m₂ +A_z*n₂ (8)

А_z1 = A_x*l₃ + A_y*m₃ +A_z*n₃ ,

или в матричной форме:

(А)₁=(L)* (А), (8-а)

где (А)₁ = (A_x1, A_y1, A_z1 )^T – вектор А, заданный в новой системе координат.

Формулы (8) описывают преобразование вектора А при повороте системы координат. Получим зависимости, осуществляющие такое же преобразование для компонентов матрицы напряжений. Напряженное состояние в точке сплошной среды в исходной системе координат описывается матрицей напряжений (s), компоненты которой представляют собой нормальные и касательные напряжения на площадках, перпендикулярных исходным осям. Найдем матрицу (s)₁, описывающую то же напряженное состояние в новой системе координат. Компоненты этой матрицы представляют собой нормальные и касательные напряжения на площадках, перпендикулярных новым осям.

Пусть, n - вектор нормали к некоторой площадке в рассматриваемой точке среды, а S - вектор напряжений на этой площадке. Эти два вектора связаны соотношением (6), которое имеет вид

(S) = (s)(n), (6-исх)

в исходной системе координат и

(S)₁ = (s) ₁ (n)₁ (6-нов)

в новой системе, где (S),(n)и(s) матрицы, составленные из компонентов S, n и s в исходной, а (S)₁,(n)₁ и (s)₁ - в новой системах координат.

Применим формулы 8-а к компонентам вектора и n:

(n)₁ = (L) (n), (a)

Обращая это соотношение, получим:

(n) = (L)^-1 (n)₁ (б)

Для вектора S из 8-а имеем:

(S)₁ = (L) (S). (в)

Подставляя в (в) сначала (6-и) а затем (б) получим:

(S)₁ = (L) (S) = (L) (s)(n)= (L) (s)(L)^-1 (n)₁. (г)

Сравнивая (г) с (6-н), получаем:

(s) ₁ = (L) (s) (L)^-1. (9-а)

Заметим, что матрица (L)^-1 , обратная, содержит направляющие косинусы осей старой системы координат относительно осей новой, то есть те же элементы, что и прямая матрица (L), но иначе расставленные. Нетрудно убедиться в том, что для матрицы поворота обратная матрица равна транспонированной:

(L)^-1 = (L)^Т.

Тогда формула, описывающая преобразование матрицы напряжений при повороте системы координат примет окончательный вид:

(s) ₁ = (L) (s) (L)^Т. (9)

После перемножения входящих в соотношение (9) матриц для компонентов матрицы получаются выражения:

s_x1 =

s_y1 = (9-а)

s_z1 =

t_xy1 =

t_yz1 =

t_zx1 =

Eсли обозначить через s_ij компоненты матрицы напряжений в исходных осях, через (s_ij)1 компоненты матрицы напряжений в повернутых осях, и l _ij компоненты матрицы поворота (7), то все зависимости (9-а) можно представить одной формулой

, (9-k)

где i,j,k,l = 1,2,3.