Напряжения на произвольных площадках. Уравнения равновесия элементарного четырехгранника

Пусть в некоторой точке О среды известны нормальные и касательные напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках, параллельных координатным плоскостям ортогональной системы координат, то есть, задана матрица напряжений (s). Определим в той же точке напряжения на произвольной площадке, наклоненной к координатным плоскостям. Положение этой площадки зададим направляющими косинусами ее нормали n, которые обозначим l,m,n и сгруппируем в виде матрицы-столбца (n)=(l,m,n)^T.

Выделим в окрестности точки элементарный четырехгранник OABC, три грани которого параллельны трем координатным плоскостям, а четвертая площадка ABC наклонена заданным образом (рис.1.5). Неизвестное напряжение S на наклонной грани представлено проекциями на координатные оси S_x, S_y, S_z, а

Рис.1.5. Напряжения на гранях элементарного четырехгранника. (На координатных плоскостях показаны только проекции напряжений на ось х).

Составим уравнения равновесия четырехгранника, в проекциях действующих на него сил на координатные оси. Обозначим площадь наклонной грани ABC через A. Остальные грани являются проекциями грани ABC на координатные оси. Их площади определятся как произведения площади A на соответствующий направляющий косинус нормали n:

A_OBC = A*l, A_OCA = A*m, A_OAB = A*n.

Тогда уравнение равновесия в проекциях сил на ось X примет вид:

-s_X*A*l - t_xy *A*m - t_yz*A*n + S_x*A = 0.

Сокращая на А, получим первое из уравнений системы (6-а). Два остальных уравнения получаются из уравнений равновесия четырехгранника в проекциях сил на оси Y и Z.

S_x = s_x·l + t_xy·m + t_zx·n

S_y = t_xy·l + s_y·m + t_yz·n (6–а)

S_z = t_zx·l + t_yz·m + s_z·n

Или сокращенно:

S_j = (s_ij · l_i), (6–б)

где i, j = x, y, z.

Или в матричной форме:

(S) = (s) (n), (6-в)

где (S) и (n) – матрицы-столбцы, составленные из компонентов этих векторов:

(S)=(S_x,S_y,S_z)^T, (n) = (l,m,n)^T.

(s) -симметричная матрица напряжений (4).

Уравнения (6) позволяют определять напряжения на любой произвольно ориентированной площадке в исследуемой точке тела, если известны напряжения на трех взаимно перпендикулярных площадках. Следовательно, матрица напряжений, состоящая из компонентов напряжений на площадках, параллельных координатным плоскостям полностью определяет напряженное состояние в точке сплошной среды.